Kongruenz und Dreieckskonstruktion – Mathe Klasse 7 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: SWS

Sind die Dreiecke mit \(a=5\), \(b=7\), \(\gamma=40^\circ\) und \(a'=5\), \(b'=7\), \(\gamma'=40^\circ\) kongruent?

Ja, nach SWS, denn der Winkel \(\gamma\) liegt zwischen \(a\) und \(b\).

Beispiel 2: WSW

Dreieck 1 hat \(\alpha=50^\circ\), \(\beta=60^\circ\) und \(c=7\) cm. Dreieck 2 hat \(\alpha=50^\circ\), \(\gamma=70^\circ\) und \(c=7\) cm. Sind sie kongruent?

Im ersten Dreieck ist \(\gamma=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\), im zweiten ist \(\beta=60^\circ\). Beide stimmen in \(\alpha\), \(\beta\) und der Seite \(c\) überein, die zwischen \(\alpha\) und \(\beta\) liegt. Nach WSW sind sie kongruent.

Beispiel 3: Dreieck mit SWS

Konstruiere \(\triangle ABC\) mit \(c=6\) cm, \(b=5\) cm und \(\alpha=50^\circ\).

Der Winkel \(\alpha\) liegt zwischen \(b\) und \(c\), also ist es ein SWS-Fall. Zeichne \(A\) und \(B\) mit 6 cm Abstand, trage bei \(A\) den Winkel 50° an, markiere auf dem Schenkel 5 cm und verbinde \(C\) mit \(B\).

Beispiel 4: Im Alltag (Vermessung)

Zwei Dörfer \(A\) und \(B\) sind \(8\,\mathrm{km}\) entfernt. Eine Hütte \(C\) wird von \(A\) unter \(50^\circ\) und von \(B\) unter \(60^\circ\) angepeilt. Wie legt man die Lage von \(C\) auf der Karte fest?

Es ist ein WSW-Fall: Die Seite \(AB\) liegt zwischen den Winkeln. Auf der Karte (\(1:100\,000\)) zeichnet man \(AB=8\,\mathrm{cm}\), trägt in \(A\) und \(B\) die Winkel an und schneidet die Schenkel: Der Schnittpunkt ist \(C\).

Beispiel 5: Kongruenz zum Beweisen

Die Diagonale \(AC\) teilt ein Rechteck \(ABCD\) in zwei Dreiecke. Zeige, dass sie kongruent sind.

\(AB=CD\), \(BC=DA\) (Gegenseiten des Rechtecks) und \(AC\) ist gemeinsam: SSS. Deshalb sind auch die Winkel \(\angle BAC\) und \(\angle DCA\) gleich groß.

Beispiel 6: Winkelhalbierende konstruieren

Konstruiere die Winkelhalbierende eines Winkels mit dem Scheitel \(S\).

Kreisbogen um \(S\), er schneidet die Schenkel in \(P\) und \(Q\). Dann Kreisbögen mit gleichem Radius um \(P\) und \(Q\); der Schnittpunkt \(R\) liegt auf der Winkelhalbierenden. Gerade \(SR\) zeichnen.

Beispiel 7: Zwei Winkel und eine Seite, die nicht dazwischen liegt

Konstruiere ein Dreieck mit \(a=5\,\mathrm{cm}\), \(\alpha=50^\circ\) und \(\beta=70^\circ\).

Die Seite \(a\) liegt nicht zwischen \(\alpha\) und \(\beta\). Mit der Winkelsumme berechnest du zuerst den dritten Winkel: \(\gamma=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ\). Jetzt liegt \(a\) zwischen \(\beta\) und \(\gamma\), und du kannst nach WSW konstruieren: Zeichne \(BC=5\,\mathrm{cm}\), trage in \(B\) den Winkel \(70^\circ\) und in \(C\) den Winkel \(60^\circ\) an. Der Schnittpunkt der freien Schenkel ist \(A\). Diesen Trick nennt man manchmal auch Kongruenzsatz SWW.