Lineare Gleichungen – Mathe Klasse 7 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Man setzt die Zahl ein und vergleicht linke und rechte Seite.

   a) Links: \(2\cdot4+5=8+5=13\). Rechts: \(13\). Beide Seiten sind gleich, also ist \(x=4\) eine Lösung.

   b) Links: \(3\cdot(-3)-7=-9-7=-16\). Rechts: \(-16\). Auch hier stimmen die Werte überein, \(x=-3\) ist Lösung.

   c) Links: \(4\cdot2-1=7\), rechts \(10\). Da \(7\neq10\), ist \(x=2\) keine Lösung.

   Antwort: Nur bei a) und b) ist die Zahl eine Lösung.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Man macht jeweils die Rechenoperation rückgängig, die mit \(x\) durchgeführt wurde, und zwar auf beiden Seiten.

   a) \(x+7=15\ \mid -7\), also \(x=8\).

   b) \(x-4=9\ \mid +4\), also \(x=13\).

   c) \(3x=21\ \mid :3\), also \(x=7\).

   d) \(\frac{x}{4}=5\ \mid \cdot4\), also \(x=20\).

   e) \(-2x=14\ \mid :(-2)\), also \(x=-7\). Probe: \(-2\cdot(-7)=14\).

   Antwort: \(\mathbb{L}=\{8\}\), \(\{13\}\), \(\{7\}\), \(\{20\}\), \(\{-7\}\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Zuerst wird die Zahl ohne \(x\) entfernt, danach durch den Faktor vor \(x\) geteilt.

   a) \(2x+3=11\ \mid-3\): \(2x=8\ \mid:2\): \(x=4\). Probe: \(2\cdot4+3=11\).

   b) \(5x-8=17\ \mid+8\): \(5x=25\), \(x=5\). Probe: \(25-8=17\).

   c) \(4x+9=1\ \mid-9\): \(4x=-8\), \(x=-2\). Probe: \(-8+9=1\).

   d) \(7-3x=-5\ \mid-7\): \(-3x=-12\ \mid:(-3)\): \(x=4\). Probe: \(7-12=-5\).

   Antwort: Die Lösungen sind 4, 5, −2 und 4.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Man sammelt die \(x\)-Glieder auf der Seite, auf der weniger übrig bleibt, und die Zahlen auf der anderen Seite.

   a) \(7x+4=3x-12\ \mid-3x\): \(4x+4=-12\ \mid-4\): \(4x=-16\), \(x=-4\).

   b) \(5x-7=2x+8\ \mid-2x\): \(3x-7=8\), \(3x=15\), \(x=5\).

   c) \(9-2x=x+18\ \mid+2x\): \(9=3x+18\ \mid-18\): \(-9=3x\), \(x=-3\).

   d) \(0{,}5x+3=2x-3\ \mid-0{,}5x\): \(3=1{,}5x-3\), \(6=1{,}5x\), \(x=4\).

   Antwort: \(x=-4\); \(x=5\); \(x=-3\); \(x=4\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Zuerst die Klammern ausmultiplizieren, dann jede Seite zusammenfassen und wie gewohnt lösen.

   a) \(2x+6-4=3x-3\), also \(2x+2=3x-3\ \mid-2x\): \(2=x-3\), \(x=5\).

   b) \(6x-3=4x+8-1=4x+7\ \mid-4x\): \(2x-3=7\), \(2x=10\), \(x=5\).

   c) Minus vor der Klammer: \(5-x+2=7-x\). Also \(7-x=2x+1\ \mid+x\): \(7=3x+1\), \(6=3x\), \(x=2\).

   d) \(4x-8+3=2x+10-1\), also \(4x-5=2x+9\), \(2x=14\), \(x=7\).

   Antwort: 5; 5; 2; 7.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Man multipliziert die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner. Dadurch verschwinden die Brüche.

   a) \(\frac{x}{3}+2=6\ \mid-2\): \(\frac x3=4\ \mid\cdot3\): \(x=12\).

   b) \(\frac{2x}{5}=8\ \mid\cdot5\): \(2x=40\), \(x=20\).

   c) \(\frac{x+1}{4}=3\ \mid\cdot4\): \(x+1=12\), \(x=11\).

   d) Hauptnenner von 2 und 3 ist 6: \(3x-2x=12\), also \(x=12\). Probe: \(\frac{12}{2}-\frac{12}{3}=6-4=2\).

   Antwort: \(x=12\); \(x=20\); \(x=11\); \(x=12\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Mobil S: feste 8 € plus 0,05 € je Minute, also \(K_S=8+0{,}05x\). Mobil Pur: \(K_P=0{,}10x\).

   b) \(8+0{,}05x=17\ \mid-8\): \(0{,}05x=9\ \mid:0{,}05\): \(x=180\). Lisa hat 180 Minuten telefoniert.

   c) Gleich teuer heißt \(K_S=K_P\): \(8+0{,}05x=0{,}10x\), also \(8=0{,}05x\) und \(x=160\) Minuten. Beide kosten dann 16 €.

   d) Bei 300 Minuten: Mobil S \(8+15=23{,}00\,€\), Mobil Pur \(30{,}00\,€\).

   Antwort: Ab 160 Minuten lohnt sich Mobil S, bei 300 Minuten spart man 7 €.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Grundgebühr plus Stundenpreis mal Stunden: \(K=4+2{,}5h\).

   b) \(4+2{,}5\cdot5=4+12{,}5=16{,}50\,€\).

   c) \(4+2{,}5h=29\ \mid-4\): \(2{,}5h=25\ \mid:2{,}5\): \(h=10\). Max hatte das Rad 10 Stunden.

   d) Zweiter Verleih: \(3+3h\). Gleichsetzen: \(4+2{,}5h=3+3h\ \mid-2{,}5h-3\): \(1=0{,}5h\), \(h=2\). Nach 2 Stunden kosten beide \(9\,€\).

   Antwort: Bei Ausleihen über 2 Stunden ist der erste Verleih günstiger.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   Die gesuchte Zahl heißt \(x\). Jeder Satzteil wird in einen Term übersetzt.

   a) \(3x-7=20\ \mid+7\): \(3x=27\), \(x=9\).

   b) \(2(x+12)=50\ \mid:2\): \(x+12=25\), \(x=13\).

   c) \(2x+5=4x-9\ \mid-2x+9\): \(14=2x\), \(x=7\). Probe: \(19=19\).

   d) Aufeinanderfolgende Zahlen: \(x\), \(x+1\), \(x+2\). \(3x+3=78\), \(3x=75\), \(x=25\).

   Antwort: Die Zahlen sind 9, 13, 7 und bei d) 25, 26, 27 (Kontrolle: \(25+26+27=78\)).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Die Kosten setzen sich aus dem Bus (300 €) und \(32\,€\) je Person zusammen: \(300+32x=1100\).

    b) \(300+32x=1100\ \mid-300\): \(32x=800\ \mid:32\): \(x=25\). Es können 25 Personen mitfahren.

    c) Für 22 Personen: \(300+32\cdot22=300+704=1004{,}00\,€\).

    d) Die Gesamtkosten werden geteilt: \(1004:22\approx45{,}636\), gerundet \(45{,}64\,€\). Der Buspreis verteilt sich jetzt auf weniger Personen, deshalb ist der Anteil höher als bei 25 Personen (\(44\,€\)).

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Breite \(x\), Länge \(x+3\). Umfang: \(2(x+x+3)=26\), also \(4x+6=26\), \(4x=20\), \(x=5\). Das Beet ist 5 m breit und 8 m lang.

    b) \(A=5\cdot8=40\,\mathrm{m}^2\).

    c) \(26\cdot12=312\,€\).

    d) Schenkel \(x\), Basis \(x-4\). Umfang: \(x+x+(x-4)=32\), \(3x-4=32\), \(3x=36\), \(x=12\). Die Schenkel sind je 12 cm lang, die Basis 8 cm. Probe: \(12+12+8=32\).

    Antwort: Beet 5 m × 8 m, Fläche 40 m², Zaun 312 €; Dreieck 12 cm, 12 cm, 8 cm.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Heute: Fenja \(x\), Mutter \(3x\). In 12 Jahren: Fenja \(x+12\), Mutter \(3x+12\). Bedingung: \(3x+12=2(x+12)\).

    b) \(3x+12=2x+24\ \mid-2x-12\): \(x=12\). Fenja ist 12 Jahre, die Mutter 36 Jahre alt.

    c) In 12 Jahren ist Fenja 24 und die Mutter 48. Wegen \(48=2\cdot24\) stimmt die Bedingung.

    d) Vor \(y\) Jahren: \(36-y=5(12-y)\), also \(36-y=60-5y\), \(4y=24\), \(y=6\). Damals war Fenja 6 und die Mutter 30.

    Antwort: Vor 6 Jahren war die Mutter fünfmal so alt.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Startbetrag plus Sparbetrag mal Wochen: Ben \(45+8w\), Mia \(20+13w\).

    b) \(45+8w=20+13w\ \mid-8w-20\): \(25=5w\), \(w=5\). Nach 5 Wochen haben beide \(45+8\cdot5=85\,€\). Kontrolle: \(20+65=85\).

    c) \(20+13w\ge100\), also \(13w\ge80\) und \(w\ge\frac{80}{13}\approx6{,}2\). Da nur ganze Wochen zählen, muss man aufrunden.

    Antwort: Nach 5 Wochen haben beide 85 €; Mia hat nach 7 Wochen mindestens 100 € (genau \(111\,€\)).

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) In Woche 1 sind es 800 m, danach kommen pro Woche 200 m dazu: \(s=800+200(w-1)=600+200w\).

    b) \(800+200(w-1)=2000\ \mid-800\): \(200(w-1)=1200\), \(w-1=6\), \(w=7\).

    c) \(800+200(w-1)=3000\): \(200(w-1)=2200\), \(w-1=11\), \(w=12\).

    d) Die Strecken der Wochen 1 bis 7 sind 800, 1000, …, 2000 m. Der Mittelwert ist \(\frac{800+2000}{2}=1400\), mal 7 Wochen ergibt \(9800\,\mathrm{m}\).

    Antwort: 2000 m in Woche 7, 3000 m in Woche 12, insgesamt 9,8 km in sieben Wochen.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Klassenkasse plus Beiträge: \(150+24\cdot5=150+120=270\,€\).

    b) Pizzen und Getränke zusammen verbrauchen das Geld: \(6x+54=270\ \mid-54\): \(6x=216\), \(x=36\) Pizzen.

    c) \(36:24=1{,}5\) Pizzen pro Kind.

    d) \(7{,}2x+54=270\): \(7{,}2x=216\), \(x=30\) Pizzen.

    e) Mit 21 Kindern: \(150+21\cdot5=255\,€\). \(6x+54=255\) ergibt \(x=33{,}5\). Da man keine halbe Pizza bestellt, sind es 33 Pizzen für \(198\,€\). Rest: \(255-54-198=3{,}00\,€\).

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(K_A=10+0{,}04x\), \(K_B=4+0{,}12x\), \(K_C=24\).

    b) Gleichsetzen: \(10+0{,}04x=4+0{,}12x\), also \(6=0{,}08x\), \(x=75\). Über 75 Minuten ist A günstiger, weil B pro Minute teurer ist.

    c) \(10+0{,}04x=24\), \(0{,}04x=14\), \(x=350\). Ab 350 Minuten ist die Flatrate günstiger.

    d) 200 Minuten: A \(18\,€\), B \(28\,€\), C \(24\,€\). 400 Minuten: A \(26\,€\), B \(52\,€\), C \(24\,€\).

    e) Bei 200 Minuten empfiehlt sich A, bei 400 Minuten die Flatrate C. B lohnt sich nur unter 75 Minuten.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Tank A nimmt zu: \(A(t)=60+8t\). Tank B nimmt ab: \(B(t)=180-4t\).

    b) \(60+8t=180-4t\ \mid+4t-60\): \(12t=120\), \(t=10\). Nach 10 Minuten enthalten beide \(60+80=140\) Liter.

    c) \(60+8t=300\): \(8t=240\), \(t=30\) Minuten.

    d) \(180-4t=0\): \(4t=180\), \(t=45\) Minuten. Da \(30<45\), ist Tank A voll, bevor Tank B leer ist.

    Antwort: Gleicher Inhalt nach 10 min (140 l); A ist nach 30 min voll, B nach 45 min leer.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Breite \(x\), Länge \(x+8\): \(2(x+x+8)=72\), also \(4x+16=72\), \(4x=56\), \(x=14\). Die Wiese ist 14 m breit und 22 m lang.

    b) \(14\cdot22=308\,\mathrm{m}^2\).

    c) Sandkasten: \(4\cdot4=16\,\mathrm{m}^2\). Anteil: \(\frac{16}{308}\approx0{,}052=5{,}2\,\%\).

    d) \(72\cdot18=1296\,€\).

    e) \(4x+16=90\), \(4x=74\), \(x=18{,}5\). Die Wiese wäre 18,5 m breit und 26,5 m lang.

    Antwort: Der Zaun kostet 1296 €, der Sandkasten nimmt rund 5 % der Wiese ein.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Ab 10:00 Uhr sei \(t\) die Fahrzeit von B. A fährt dann schon \(t+1\) Stunden. Gleiche Strecke: \(12(t+1)=18t\), also \(12t+12=18t\), \(12=6t\), \(t=2\). B holt A um 12:00 Uhr ein.

    b) \(18\cdot2=36\,\mathrm{km}\) vom Start.

    c) Nein, denn \(36\,\mathrm{km}>30\,\mathrm{km}\). A braucht \(30:12=2{,}5\) h und ist um 11:30 Uhr am Ziel, B braucht \(30:18\approx1{,}67\) h und kommt erst um 11:40 Uhr an.

    d) B müsste die 30 km in \(1{,}5\) h schaffen: \(v=\frac{30}{1{,}5}=20\,\mathrm{km/h}\).

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Man setzt \(x=3\) ein: \(2\cdot3+a=3+7\), also \(6+a=10\) und \(a=4\).

    b) Erste Gleichung: \(3x+6=3x+6\). Subtrahiert man \(3x\), bleibt \(6=6\), eine wahre Aussage. Jede Zahl ist Lösung: \(\mathbb{L}=\mathbb{Q}\). Zweite Gleichung: Subtraktion von \(3x\) liefert \(2=5\), eine falsche Aussage. Es gibt keine Lösung: \(\mathbb{L}=\{\;\}\).

    c) Term aufstellen: \(\frac{3(x+7)-6}{3}-x=\frac{3x+15}{3}-x=x+5-x=5\). Die Variable fällt weg, also ergibt sich bei jeder Zahl 5.