Kongruenz und Dreieckskonstruktion – Mathe Klasse 7 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Es gilt \(\triangle ABC\cong\triangle PQR\). Im Dreieck \(ABC\) sind \(AB=7\,\mathrm{cm}\), \(BC=5\,\mathrm{cm}\), \(CA=6\,\mathrm{cm}\), \(\alpha=44^\circ\), \(\beta=57^\circ\), \(\gamma=79^\circ\).

a) Welche Punkte gehören zusammen?
b) Fülle die Tabelle aus.
c) Welche Aussage über Fläche und Umfang beider Dreiecke gilt?

Ordne jeder Angabe den passenden Kongruenzsatz zu (SSS, SWS, WSW, SsW) oder entscheide, dass keiner passt.

a) \(a\), \(b\), \(c\) gegeben
b) \(a\), \(c\) und der eingeschlossene Winkel \(\beta\)
c) \(c\), \(\alpha\) und \(\beta\)
d) \(b\), \(c\) und der Winkel \(\gamma\) gegenüber der größeren Seite \(c\) (\(c>b\))
e) \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) gegeben

Ein Dreieck mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\) existiert nur, wenn jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen. Prüfe, ob sich Dreiecke mit diesen Seitenlängen (in cm) konstruieren lassen.

a) \(3\), \(4\), \(8\)
b) \(5\), \(6\), \(10\)
c) \(4\), \(4\), \(8\)
d) \(7\), \(9\), \(15\)
e) \(2\), \(2\), \(3\)

Im Dreieck \(ABC\) liegt die Seite \(a\) gegenüber von \(A\), die Seite \(b\) gegenüber von \(B\) und die Seite \(c\) gegenüber von \(C\). Der Winkel \(\alpha\) liegt bei \(A\), \(\beta\) bei \(B\), \(\gamma\) bei \(C\).

a) Welche Seite liegt zwischen den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\)?
b) Welcher Winkel wird von den Seiten \(a\) und \(b\) eingeschlossen?
c) Gegeben sind \(a=5\), \(b=7\) und \(\gamma=40^\circ\). Welcher Kongruenzsatz kommt für die Konstruktion in Frage? Begründe.
d) Gegeben sind \(a=5\), \(b=7\) und \(\alpha=40^\circ\). Warum ist hier Vorsicht geboten?

Begründe jeweils mit einem Kongruenzsatz oder erkläre, warum man es nicht sagen kann.

a) \(a=5\), \(c=8\), \(\beta=55^\circ\) und \(a_2=5\), \(c_2=8\), \(\beta_2=55^\circ\)
b) Dreieck 1: \(\alpha=40^\circ\), \(\beta=70^\circ\), \(c=6\). Dreieck 2: \(\alpha=40^\circ\), \(\gamma=70^\circ\), \(c=6\).
c) Beide Dreiecke haben die Winkel \(60^\circ\), \(60^\circ\), \(60^\circ\). Das eine hat die Seite \(4\), das andere \(6\).

Konstruiere das Dreieck \(ABC\) mit \(c=6\,\mathrm{cm}\), \(b=5\,\mathrm{cm}\) und \(\alpha=50^\circ\).

a) Welcher Kongruenzsatz liegt vor?
b) Beschreibe die Konstruktionsschritte in der richtigen Reihenfolge.
c) Miss die Seite \(a\) in deiner Zeichnung. Welcher Wert ergibt sich ungefähr?

Konstruiere das Dreieck mit \(a=4\,\mathrm{cm}\), \(b=5\,\mathrm{cm}\), \(c=6\,\mathrm{cm}\).

a) Prüfe, ob die Konstruktion möglich ist.
b) Beschreibe die Schritte mit Zirkel und Lineal.
c) Miss die drei Winkel. Welche Werte erwartest du, und welche Summe?

Konstruiere das Dreieck mit \(c=7\,\mathrm{cm}\), \(\alpha=50^\circ\) und \(\beta=60^\circ\).

a) Berechne \(\gamma\).
b) Beschreibe die Konstruktion.
c) Miss \(a\) und \(b\). Welche Werte erwartest du?

Familie Köhler möchte im Garten zwei dreieckige Beete anlegen, die genau gleich aussehen (kongruent). Für das erste Beet gelten zwei Seiten von \(4\,\mathrm{m}\) und \(5\,\mathrm{m}\) mit einem eingeschlossenen Winkel von \(70^\circ\).

a) Welche Angaben braucht Familie Köhler für das zweite Beet?
b) Welcher Kongruenzsatz garantiert, dass beide Beete gleich sind?
c) Reicht es, nur die beiden Seitenlängen zu kennen? Begründe.

Eine Brücke wird aus dreieckigen Fachwerken gebaut. Zwei Dreiecke haben die Balkenlängen \(3\,\mathrm{m}\), \(4\,\mathrm{m}\) und \(5\,\mathrm{m}\).

a) Sind die beiden Dreiecke kongruent? Begründe.
b) Kann man aus Balken von \(3\,\mathrm{m}\), \(4\,\mathrm{m}\) und \(8\,\mathrm{m}\) ein Dreieck bauen?
c) Warum sind Dreiecke im Bauwesen stabil und Vierecke nicht?

Auf dem Schulhof stehen zwei Bäume \(A\) und \(B\) im Abstand von \(10\,\mathrm{m}\). Eine Bank soll von beiden Bäumen gleich weit entfernt stehen.

a) Auf welcher Linie kann die Bank stehen? Wie konstruiert man sie?
b) Die Bank steht \(13\,\mathrm{m}\) von \(A\) entfernt. Wie weit ist sie von \(B\) entfernt?
c) Wie weit ist die Bank von jedem Baum entfernt, wenn sie genau zwischen den Bäumen auf der Strecke \(AB\) steht?

Zwei Straßen schneiden sich unter einem Winkel von \(60^\circ\). Die neue Bushaltestelle soll von beiden Straßen gleich weit entfernt sein.

a) Auf welcher Linie muss sie liegen?
b) Wie groß ist der Winkel zwischen dieser Linie und jeder Straße?
c) Wie groß wäre er bei einem Kreuzungswinkel von \(110^\circ\)?

Im Park stehen drei Bäume \(A\), \(B\) und \(C\), die nicht auf einer Geraden liegen. Ein Brunnen soll von allen drei Bäumen gleich weit entfernt sein.

a) Welche Linien muss man konstruieren, und wo liegt der Brunnen?
b) Wie viele Mittelsenkrechten braucht man mindestens?
c) Was geschieht, wenn die drei Bäume auf einer Geraden stehen?

Eine Tischlerin soll drei gleiche dreieckige Holzplatten nach einem Muster schneiden. Am Muster misst sie die Seite \(c=24\,\mathrm{cm}\) und die beiden anliegenden Winkel \(\alpha=40^\circ\) und \(\beta=75^\circ\).

a) Welcher Kongruenzsatz gilt hier?
b) Wie groß ist der dritte Winkel?
c) Reicht es, wenn sie stattdessen nur die drei Winkel misst? Begründe.

Im Viereck \(ABCD\) sind alle Seiten \(5\,\mathrm{cm}\) lang (Raute). Die Diagonale \(AC\) ist \(6\,\mathrm{cm}\) lang.

a) Zeige, dass die Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\) kongruent sind.
b) Welche Winkel sind deshalb gleich groß?
c) Der Winkel bei \(B\) beträgt etwa \(74^\circ\). Berechne die Winkel bei \(A\), \(C\) und \(D\) näherungsweise.

Die Hütte \(H\), der Gipfel \(G\) und der See \(S\) bilden ein Dreieck. Der Weg \(HG\) ist \(3{,}2\,\mathrm{km}\) lang, der Weg \(GS\) ist \(4{,}5\,\mathrm{km}\) lang.

a) Zwischen welchen Werten muss die Länge \(HS\) liegen?
b) Ist \(HS=1\,\mathrm{km}\) möglich? Und \(HS=8\,\mathrm{km}\)?
c) Welche ganzzahligen Längen (in km) sind möglich?
d) Erkläre mit der Dreiecksungleichung, warum der direkte Weg nie länger ist als ein Umweg.

Ein Vermesser kann nicht ans andere Ufer. Er misst die Strecke \(AB=120\,\mathrm{m}\) am Ufer und von dort den Baum \(C\) am anderen Ufer unter den Winkeln \(\alpha=62^\circ\) und \(\beta=48^\circ\).

a) Berechne \(\gamma\).
b) Beschreibe die Konstruktion im Maßstab \(1:2\,000\) (\(AB\) ist dann \(6\,\mathrm{cm}\) lang).
c) Welche Entfernungen \(AC\) und \(BC\) erwartet er? Rechne die Zeichnungslängen in Meter um.

Mario soll ein Dreieck mit \(b=6\,\mathrm{cm}\), \(c=8\,\mathrm{cm}\) und \(\beta=40^\circ\) konstruieren. Der Winkel \(\beta\) liegt der kürzeren Seite \(b\) gegenüber.

a) Zeichne \(AB=8\,\mathrm{cm}\) und trage in \(B\) den Winkel \(40^\circ\) an. Beschreibe, wie man \(C\) findet (Kreisbogen um \(A\) mit Radius \(6\,\mathrm{cm}\)).
b) Wie viele verschiedene Dreiecke ergeben sich?
c) Berechne die Winkel \(\gamma\) der beiden Lösungen näherungsweise.
d) Wie viele Dreiecke gibt es bei \(a=6\,\mathrm{cm}\), \(c=8\,\mathrm{cm}\) und \(\gamma=40^\circ\)? Der Winkel liegt dann der größeren Seite gegenüber.

Eine Wand von \(2{,}2\,\mathrm{m}^2\) soll mit gleichseitigen dreieckigen Fliesen (Seitenlänge \(20\,\mathrm{cm}\), Höhe \(17{,}3\,\mathrm{cm}\)) belegt werden. Alle Fliesen sind kongruent.

a) Wie groß ist jeder Winkel einer Fliese, und warum passen sechs Fliesen lückenlos um einen Punkt?
b) Berechne die Fläche einer Fliese in \(\mathrm{cm}^2\) (\(A=\frac12\cdot g\cdot h\)).
c) Wie viele Fliesen braucht man für die Wand (\(1\,\mathrm{m}^2=10\,000\,\mathrm{cm}^2\))?
d) Mit \(10\,\%\) Verschnitt: Wie viele Fliesen sollte man kaufen?

Zähle und begründe.

a) Wie viele verschiedene (nicht kongruente) Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen (in cm) und Umfang \(12\,\mathrm{cm}\) gibt es?
b) Zeige an einem Beispiel, dass gleiche Winkel nicht genügen: Gib zwei nicht kongruente Dreiecke mit den Winkeln \(60^\circ\), \(60^\circ\), \(60^\circ\) an.
c) Was folgt für die Dreiecksungleichung, wenn \(a=b\)?