Trigonometrie in allgemeinen Dreiecken – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

← Zurück zur Klassenarbeit

1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\): \(\gamma=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\) (1 P.).
   b) Gegeben ist das vollständige Paar aus Seite \(c=8\) cm und Gegenwinkel \(\gamma=70^\circ\), deshalb hilft der Sinussatz \(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}\). Umgestellt: \(a=\frac{c\cdot\sin\alpha}{\sin\gamma}=\frac{8\cdot\sin50^\circ}{\sin70^\circ}\approx\frac{8\cdot0{,}766}{0{,}940}\approx6{,}52\) cm (1,5 P.).
   c) Ebenso für die Seite gegenüber \(\beta\): \(b=\frac{8\cdot\sin60^\circ}{\sin70^\circ}\approx\frac{6{,}928}{0{,}940}\approx7{,}37\) cm (1,5 P.). Plausibilitätskontrolle: Dem größten Winkel \(\gamma\) liegt die längste Seite \(c=8\) cm gegenüber, dem kleinsten Winkel \(\alpha\) die kürzeste Seite \(a\approx6{,}52\) cm. Antwort: \(\gamma=70^\circ\), \(a\approx6{,}52\) cm, \(b\approx7{,}37\) cm.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Gegeben sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS). Der Sinussatz hilft hier nicht, man braucht den Kosinussatz: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma=36+64-2\cdot6\cdot8\cdot\cos50^\circ\) (1 P.). Mit \(\cos50^\circ\approx0{,}643\): \(c^2\approx100-61{,}71=38{,}29\) (1 P.), also \(c\approx6{,}19\) cm (0,5 P.).
   b) Die Flächenformel mit eingeschlossenem Winkel lautet \(A=\frac12ab\sin\gamma\). Sie folgt aus \(A=\frac12\cdot\text{Grundseite}\cdot\text{Höhe}\), denn die Höhe auf \(a\) ist \(b\cdot\sin\gamma\approx6{,}13\) cm. \(A=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin50^\circ\approx24\cdot0{,}766\approx18{,}39\,\mathrm{cm}^2\) (1,5 P.). Kontrolle: Für \(\gamma=90^\circ\) ergäbe der Kosinussatz den Pythagoras mit \(c=10\) cm; bei \(50^\circ\) muss \(c\) kürzer sein, das passt.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber, hier \(\gamma\) gegenüber \(c=9\). Kosinussatz nach dem Winkel umgestellt: \(\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{36+49-81}{84}=\frac{4}{84}\approx0{,}0476\) (1 P.). Also \(\gamma\approx87{,}3^\circ\), knapp unter einem rechten Winkel (1 P.).
   b) Für \(\alpha\) gegenüber \(a=6\): \(\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+81-36}{126}=\frac{94}{126}\approx0{,}746\), \(\alpha\approx41{,}8^\circ\) (1 P.).
   c) \(\beta=180^\circ-87{,}3^\circ-41{,}8^\circ\approx51{,}0^\circ\) (1 P.). Kontrolle mit dem Kosinussatz: \(\cos\beta=\frac{36+81-49}{108}\approx0{,}630\), also \(\beta\approx51{,}0^\circ\), übereinstimmend. Vorteil des Kosinussatzes bei drei gegebenen Seiten: Er liefert auch stumpfe Winkel eindeutig, während der Sinussatz dort zwei mögliche Winkel zuließe. Antwort: \(\gamma\approx87{,}3^\circ\), \(\alpha\approx41{,}8^\circ\), \(\beta\approx51{,}0^\circ\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Im Dreieck \(ABC\) sind die Winkel bei \(A\) und \(B\) bekannt: \(\gamma=180^\circ-48^\circ-75^\circ=57^\circ\) (1 P.).
   b) Bekannt ist die Seite \(AB=150\) m mit ihrem Gegenwinkel \(\gamma\), also passt der Sinussatz. \(AC\) liegt dem Winkel \(\beta=75^\circ\) bei \(B\) gegenüber: \(AC=\frac{150\cdot\sin75^\circ}{\sin57^\circ}\approx\frac{150\cdot0{,}966}{0{,}839}\approx172{,}8\) m (1,5 P.).
   c) \(BC\) liegt dem Winkel \(\alpha=48^\circ\) bei \(A\) gegenüber: \(BC=\frac{150\cdot\sin48^\circ}{\sin57^\circ}\approx\frac{111{,}5}{0{,}839}\approx132{,}9\) m (1,5 P.). Kontrolle: Zum größten Winkel \(75^\circ\) gehört die längste Seite \(AC\). Bedeutung des Verfahrens: Man kann die Entfernung zum Baum bestimmen, ohne den Fluss zu überqueren. Antwort: \(\gamma=57^\circ\), \(AC\approx172{,}8\) m, \(BC\approx132{,}9\) m.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Hafen und die beiden Schiffspositionen bilden ein Dreieck mit den Seiten \(12\) km und \(18\) km und dem eingeschlossenen Winkel \(75^\circ\). Gesucht ist die dritte Seite, also Kosinussatz (1 P.): \(d^2=12^2+18^2-2\cdot12\cdot18\cdot\cos75^\circ=144+324-432\cdot0{,}2588\approx468-111{,}8=356{,}2\) (1 P.). Damit \(d=\sqrt{356{,}2}\approx18{,}87\) km (1 P.).
   b) Die Summe der beiden Fahrstrecken ist \(12+18=30\) km. Der direkte Abstand ist um \(30-18{,}87\approx11{,}13\) km kürzer (1 P.). Das passt zur Dreiecksungleichung: Jede Dreiecksseite ist kürzer als die Summe der beiden anderen. Bei einem Kurswinkel von \(180^\circ\) wäre der Abstand genau \(30\) km. Antwort: Die Schiffe sind etwa \(18{,}87\) km voneinander entfernt, rund \(11{,}13\) km weniger als die Summe der Fahrstrecken.

Gesamt : 20 Punkte