Trigonometrie in allgemeinen Dreiecken – Mathe Klasse 10 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

In einem Dreieck sind \(\alpha=40^\circ\), \(\beta=65^\circ\) und \(c=10\) cm gegeben.

a) Berechne den Winkel \(\gamma\).
b) Berechne die Seite \(a\).
c) Berechne die Seite \(b\).
d) Prüfe, ob die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt.

Gegeben sind \(a=12\) cm, \(b=10\) cm und \(\alpha=50^\circ\).

a) Berechne \(\beta\) mit dem Sinussatz.
b) Begründe, warum es nur eine Lösung gibt.
c) Berechne \(\gamma\) und \(c\).

Gegeben sind \(a=7\) cm, \(b=9\) cm und \(\gamma=60^\circ\).

a) Berechne die Seite \(c\).
b) Berechne \(\alpha\) mit dem Sinussatz.
c) Berechne \(\beta\) und prüfe die Winkelsumme.

Ein Dreieck hat die Seiten \(a=5\), \(b=6\), \(c=7\).

a) Berechne \(\gamma\).
b) Berechne \(\alpha\).
c) Berechne \(\beta\) und die Fläche des Dreiecks.

Entscheide für jeden Fall, welchen Satz du zuerst brauchst, und nenne die gesuchte Größe des ersten Schritts.

a) Fall a) und c)
b) Fall b)
c) Fall d)

Zwei Messpunkte \(A\) und \(B\) am Ufer eines Sees sind 120 m voneinander entfernt. Ein Boot \(C\) wird von \(A\) unter \(52^\circ\) und von \(B\) unter \(71^\circ\) angepeilt.

a) Berechne den Winkel \(\gamma\) beim Boot.
b) Wie weit ist das Boot von \(A\) entfernt?
c) Wie weit ist das Boot von \(B\) entfernt?
d) Wie weit ist das Boot vom Ufer entfernt (Abstand von der Strecke \(AB\))?

Von einem Punkt \(A\) aus wird die Spitze eines Funkmastes unter dem Höhenwinkel \(28^\circ\) gesehen. Nach 30 m Annäherung in Richtung Mast (Punkt \(B\)) beträgt der Höhenwinkel \(41^\circ\).

a) Berechne den Winkel an der Mastspitze im Dreieck \(ABT\).
b) Berechne die Entfernung \(BT\) von \(B\) zur Spitze.
c) Berechne die Höhe des Mastes.
d) Wie weit steht der Punkt \(B\) vom Fuß des Mastes?

Zwei Schiffe verlassen gleichzeitig denselben Hafen. Schiff 1 fährt 15 km, Schiff 2 fährt 20 km. Die Fahrtrichtungen schließen den Winkel \(\varphi\) ein.

a) Berechne den Abstand für \(\varphi=60^\circ\).
b) Berechne den Abstand für \(\varphi=90^\circ\).
c) Berechne den Abstand für \(\varphi=120^\circ\).
d) Wie ändert sich der Abstand, wenn der Winkel größer wird?

Berechne die Flächen der Dreiecke mit \(A=\frac12ab\sin\gamma\).

a) \(a=8\) cm, \(b=11\) cm, \(\gamma=35^\circ\)
b) \(a=5\) cm, \(b=6\) cm, \(c=7\) cm (zuerst \(\gamma\) berechnen)
c) Ein gleichseitiges Dreieck mit Seite 10 cm

Ein Grundstück hat die Form eines Dreiecks. Zwei Seiten sind 40 m und 55 m lang und schließen einen Winkel von \(70^\circ\) ein. Der Bodenrichtwert beträgt 80 € pro m². Es soll rundherum ein Zaun gesetzt werden.

a) Berechne die Fläche.
b) Berechne die dritte Seite.
c) Berechne die Länge des Zauns.
d) Berechne den Wert des Grundstücks.

Ein Flugzeug fliegt 300 km nach Norden, ändert dann den Kurs um \(40^\circ\) nach Osten und fliegt weitere 200 km.

a) Welchen Winkel schließen die beiden Flugstrecken im Dreieck zum Startpunkt ein?
b) Wie weit ist das Flugzeug dann vom Startpunkt entfernt?
c) Wie viel Kilometer hätte es mit dem direkten Rückflug im Vergleich zum Hinweg über den Umweg gespart?

Gegeben sind \(a=8\) cm, \(b=10\) cm und \(\alpha=40^\circ\) (SsW mit der kürzeren Gegenseite).

a) Berechne \(\beta_1\) und \(\beta_2\).
b) Berechne zu jeder Lösung \(\gamma\) und \(c\).
c) Zeichne beide Dreiecke gedanklich und erkläre, warum es zwei gibt.

Ein Parallelogramm hat die Seiten 6 cm und 9 cm und einen Winkel von \(70^\circ\).

a) Berechne die kürzere Diagonale (gegenüber dem Winkel \(70^\circ\)).
b) Berechne die längere Diagonale (Nebenwinkel \(110^\circ\)).
c) Berechne die Fläche des Parallelogramms.
d) Prüfe mit der Formel \(e^2+f^2=2(a^2+b^2)\).

Ein symmetrisches Satteldach hat die Spannweite 8 m, die Sparrenlänge beträgt 5 m.

a) Berechne den Winkel an der Traufe.
b) Berechne den Winkel an der Firstspitze mit dem Kosinussatz.
c) Berechne die Höhe des Daches.
d) Prüfe die Winkelsumme.

Zwischen zwei Orten \(A\) und \(B\) soll ein Tunnel durch einen Berg gebohrt werden. Von einem Messpunkt \(C\) aus misst man \(CA=420\) m, \(CB=510\) m und den Winkel \(\gamma=72^\circ\) bei \(C\). Die Tunnelbohrmaschine schafft 8 m pro Tag.

a) Berechne die Länge des Tunnels.
b) Wie viele Tage dauert die Bohrung?
c) Berechne die Winkel bei \(A\) und bei \(B\).
d) Wie lang wäre die Umgehungsstraße über \(C\)?

Ein dreieckiges Segel hat die Seiten 4,2 m und 3,6 m, die einen Winkel von \(80^\circ\) einschließen. Das Segeltuch kostet 38 € pro m².

a) Berechne die Fläche des Segels.
b) Berechne die dritte Seite.
c) Berechne die Kosten des Tuchs.
d) Welchen Winkel schließt die dritte Seite mit der 4,2-m-Seite ein?

Ein Grundstück \(ABCD\) wird durch die Diagonale \(AC=60\) m in zwei Dreiecke geteilt: \(AB=40\) m, \(BC=50\) m und \(CD=45\) m, \(DA=35\) m.

a) Berechne den Winkel \(\angle ABC\) mit dem Kosinussatz.
b) Berechne die Fläche des Dreiecks \(ABC\).
c) Berechne den Winkel \(\angle CDA\) und die Fläche des Dreiecks \(ACD\).
d) Berechne die Gesamtfläche des Grundstücks.

Ein 15 m hoher Mast steht am Fuß eines Hanges, der vom Mast weg mit \(12^\circ\) ansteigt. Die Sonne steht \(35^\circ\) über der Waagerechten, ihre Strahlen fallen in Richtung des Hanges.

a) Berechne die Winkel im Dreieck aus Mastfuß, Mastspitze und Schattenende.
b) Berechne die Länge des Schattens auf dem Hang.
c) Wie groß wäre der Schatten auf ebenem Boden?
d) Warum ist der Schatten am Hang länger?

Nach dem erweiterten Sinussatz gilt \(\frac{a}{\sin\alpha}=2R\), wobei \(R\) der Radius des Umkreises ist.

a) Ein Dreieck hat \(a=10\) cm und \(\alpha=30^\circ\). Berechne \(R\).
b) Berechne \(R\) für das Dreieck mit \(a=5\), \(b=6\), \(c=7\) (zuerst \(\alpha\) berechnen).
c) Wie groß ist \(R\) bei einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse \(c\)? Begründe mit \(\gamma=90^\circ\).

Ein Dreieck hat die Seiten \(a=7\), \(b=9\) und \(c=12\). Es ist stumpfwinklig.

a) Berechne den größten Winkel \(\gamma\) mit dem Kosinussatz.
b) Berechne \(\alpha\) und \(\beta\) mit dem Sinussatz.
c) Prüfe die Winkelsumme.
d) Berechne die Fläche und vergleiche mit der Heron-Formel \(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), \(s=\frac{a+b+c}2\).