Logarithmen – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   Der Logarithmus \(\log_ba\) ist der Exponent, mit dem man \(b\) potenzieren muss, um \(a\) zu erhalten.
   a) Wegen \(2^6=64\) gilt \(\log_264=6\) (1 P.).
   b) \(\frac19=\frac1{3^2}=3^{-2}\), also \(\log_3\frac19=-2\) (1 P.). Logarithmen von Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) sind bei einer Basis größer als \(1\) negativ.
   c) \(\lg\) bezeichnet den Zehnerlogarithmus. \(0{,}001=\frac1{1000}=10^{-3}\), also \(\lg0{,}001=-3\) (1 P.).
   d) \(2=\sqrt4=4^{1/2}\), deshalb \(\log_42=0{,}5\) (1 P.). Probe zu allen Teilen: Die Potenz aus Basis und Ergebnis muss wieder die Ausgangszahl ergeben, etwa \(4^{0{,}5}=2\). Antwort: \(6\); \(-2\); \(-3\); \(0{,}5\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Produktgesetz \(\log_bu+\log_bv=\log_b(uv)\): \(\log_212+\log_2\frac23=\log_2(12\cdot\frac23)=\log_28=3\), da \(2^3=8\) (1 P.).
   b) Quotientengesetz \(\log_bu-\log_bv=\log_b\frac uv\): \(\lg200-\lg2=\lg100=2\) (1 P.).
   c) Zuerst das Potenzgesetz \(r\log_bu=\log_b(u^r)\): \(2\log_36=\log_336\). Dann das Quotientengesetz: \(\log_336-\log_34=\log_39=2\) (1 P.).
   d) Rückwärts zerlegt man in Summen: \(\log_b(x^2y)=\log_b(x^2)+\log_by=2\log_bx+\log_by\) (1 P.). Gültig für \(x,y\gt0\). In a) bis c) lohnt sich das Zusammenfassen, weil dadurch ein glatter Numerus wie \(8\), \(100\) oder \(9\) entsteht, dessen Logarithmus man ohne Taschenrechner kennt. Typischer Fehler: \(\log_b(u+v)=\log_bu+\log_bv\) schreiben; dieses Gesetz gibt es nicht. Antwort: \(3\); \(2\); \(2\); \(2\log_bx+\log_by\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   Exponentialgleichungen löst man, indem man beide Seiten logarithmiert; dann gilt \(\lg(b^x)=x\cdot\lg b\).
   a) \(3^x=50\) führt auf \(x=\frac{\lg50}{\lg3}\approx\frac{1{,}699}{0{,}477}\approx3{,}56\) (1 P.). Kontrolle: \(3^3=27\) und \(3^4=81\), das Ergebnis liegt dazwischen.
   b) Wegen \(2^{x+1}=2\cdot2^x\) teilt man zuerst durch \(2\): \(2^x=12\), \(x=\frac{\lg12}{\lg2}\approx3{,}58\) (1 P.).
   c) \(1{,}04^x=1{,}5\) ergibt \(x=\frac{\lg1{,}5}{\lg1{,}04}\approx10{,}34\) (1 P.). Deutung: Bei \(4\,\%\) Wachstum dauert es gut zehn Perioden, bis der Bestand um die Hälfte gewachsen ist.
   d) Erst durch \(5\) teilen: \(0{,}8^x=0{,}4\); dann \(x=\frac{\lg0{,}4}{\lg0{,}8}\approx4{,}11\) (1 P.). Antwort: \(3{,}56\); \(3{,}58\); \(10{,}34\); \(4{,}11\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Anfangskapital \(5000\) €, Zinsfaktor \(1+0{,}035=1{,}035\): \(K(n)=5000\cdot1{,}035^n\) (1 P.).
   b) \(5000\cdot1{,}035^n=8000\) ergibt \(1{,}035^n=1{,}6\). Logarithmieren: \(n=\frac{\lg1{,}6}{\lg1{,}035}\approx13{,}66\) (1 P.). Da Zinsen am Jahresende gutgeschrieben werden, sind die \(8000\) € nach \(14\) Jahren erreicht.
   c) Verdopplung bedeutet Faktor \(2\), unabhängig vom Startkapital: \(n=\frac{\lg2}{\lg1{,}035}\approx20{,}15\) Jahre, also nach \(21\) vollen Jahren (1 P.).
   d) Die 72er-Regel schätzt die Verdopplungszeit durch \(\frac{72}{\text{Zinssatz}}\): \(\frac{72}{3{,}5}\approx20{,}6\) Jahre. Die Abweichung zum genauen Wert beträgt nur etwa ein halbes Jahr; die Faustregel ist bei kleinen Zinssätzen gut brauchbar (1 P.).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) \(\text{pH}=-\lg(2{,}5\cdot10^{-4})=-(\lg2{,}5+\lg10^{-4})=-(0{,}398-4)\approx3{,}60\) (1 P.). Die Lösung ist sauer, da der Wert unter \(7\) liegt.
   b) Umstellen: \(\lg c=-\text{pH}\), also \(c=10^{-\text{pH}}=10^{-8{,}3}\approx5{,}0\cdot10^{-9}\) mol/l (1 P.).
   c) \(c_3=10^{-3}\) und \(c_6=10^{-6}\). Quotient: \(\frac{10^{-3}}{10^{-6}}=10^3=1000\). Bei pH \(3\) ist die Konzentration also tausendmal so groß (1 P.).
   d) Nein. Jede pH-Einheit entspricht einem Faktor \(10\) in der Konzentration. Zwischen pH \(4\) und pH \(8\) liegen vier Einheiten, also der Faktor \(10^4=10\,000\) (1 P.). Die Lösung mit pH \(4\) ist damit zehntausendmal so sauer, nicht doppelt so sauer. Das liegt an der logarithmischen Skala.

Gesamt : 20 Punkte