Statistik: Streuung und Datenauswertung – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   Die acht Werte sind bereits der Größe nach geordnet.
   a) Summe: \(3+5+5+7+8+9+10+13=60\), Mittelwert \(\bar x=\frac{60}{8}=7{,}5\) (1 P.). Bei einer geraden Anzahl gibt es zwei mittlere Werte, den vierten und fünften: \(7\) und \(8\). Median \(\tilde x=\frac{7+8}{2}=7{,}5\) (1 P.). Mittelwert und Median stimmen überein, die Daten sind recht symmetrisch verteilt.
   b) Die untere Hälfte \(3;5;5;7\) hat den Median \(Q_1=\frac{5+5}{2}=5\), die obere Hälfte \(8;9;10;13\) den Median \(Q_3=\frac{9+10}{2}=9{,}5\). Quartilsabstand \(Q_3-Q_1=4{,}5\) (1 P.). In diesem Bereich liegt die mittlere Hälfte der Daten.
   c) Spannweite \(R=x_{\max}-x_{\min}=13-3=10\) (1 P.). Antwort: \(\bar x=\tilde x=7{,}5\); \(Q_1=5\), \(Q_3=9{,}5\), IQR \(4{,}5\); \(R=10\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Mittelwert: \(\bar x=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6\) (1 P.).
   b) Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Abweichungen: \(-4;-2;0;2;4\). Quadrate: \(16;4;0;4;16\), Summe \(40\) (1 P.). Geteilt durch die Anzahl: \(s^2=\frac{40}{5}=8\) (1 P.). Man quadriert, damit sich positive und negative Abweichungen nicht gegenseitig aufheben; die einfachen Abweichungen ergeben zusammen immer \(0\).
   c) Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und hat wieder dieselbe Einheit wie die Daten: \(s=\sqrt8=2\sqrt2\approx2{,}83\) (1 P.). Deutung: Die Werte weichen im Mittel um knapp \(3\) vom Durchschnitt \(6\) ab. Antwort: \(\bar x=6\), \(s^2=8\), \(s\approx2{,}83\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   Insgesamt wurden \(4+8+5+2+1=20\) Kinder befragt.
   a) Gewichteter Mittelwert: \(\bar x=\frac{0\cdot4+1\cdot8+2\cdot5+3\cdot2+4\cdot1}{20}=\frac{28}{20}=1{,}4\) Geschwister (1 P.).
   b) Bei \(20\) Werten liegt der Median zwischen dem \(10\). und \(11\). Wert der geordneten Liste. Die Plätze \(1\) bis \(4\) haben den Wert \(0\), die Plätze \(5\) bis \(12\) den Wert \(1\); also Median \(1\). Der Modus ist der häufigste Wert, ebenfalls \(1\) (achtmal) (1 P.).
   c) Quadrierte Abweichungen mal Häufigkeit: \(4\cdot1{,}96+8\cdot0{,}16+5\cdot0{,}36+2\cdot2{,}56+1\cdot6{,}76=7{,}84+1{,}28+1{,}8+5{,}12+6{,}76=22{,}8\) (1 P.). Varianz \(s^2=\frac{22{,}8}{20}=1{,}14\), Standardabweichung \(s=\sqrt{1{,}14}\approx1{,}07\) (1 P.). Antwort: \(\bar x=1{,}4\), Median und Modus \(1\), \(s\approx1{,}07\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Spannweite: \(R=45-12=33\). Quartilsabstand: \(Q_3-Q_1=30-18=12\) (1 P.).
   b) Die Quartile teilen die geordneten Daten in vier Viertel. Zwischen \(Q_1=18\) und \(Q_3=30\) liegen das zweite und dritte Viertel, also etwa \(50\,\%\) der Daten (1 P.). Diesen Bereich zeigt im Boxplot die Box.
   c) Man vergleicht die Lage des Medians. Innerhalb der Box: Median bis \(Q_1\) sind \(3\), Median bis \(Q_3\) aber \(9\). Bei den Antennen: Median bis Minimum \(9\), Median bis Maximum \(24\) (1 P.). Die rechte Seite ist jeweils deutlich länger, die Verteilung ist also rechtsschief: Die meisten Werte liegen eng beieinander im unteren Bereich, einige wenige große Werte ziehen nach rechts aus. Der Mittelwert dürfte daher über dem Median \(21\) liegen (1 P.).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Maschine A: \(\frac{500+502+498+501+499}{5}=\frac{2500}{5}=500\) ml. Maschine B: \(\frac{505+495+500+506+494}{5}=\frac{2500}{5}=500\) ml. Beide treffen im Mittel genau den Sollwert (1 P.).
   b) A: Abweichungen \(0;2;-2;1;-1\), Quadrate \(0+4+4+1+1=10\), \(s^2=2\), \(s=\sqrt2\approx1{,}41\) ml. B: Abweichungen \(5;-5;0;6;-6\), Quadrate \(25+25+0+36+36=122\), \(s^2=24{,}4\), \(s\approx4{,}94\) ml (1 P.).
   c) Maschine A arbeitet zuverlässiger: Bei gleichem Mittelwert streuen ihre Füllmengen etwa dreieinhalbmal weniger (1 P.). Der Mittelwert allein hätte keinen Unterschied gezeigt.
   d) Die Toleranz erlaubt \(495\) bis \(505\) ml. Bei B liegen \(506\) ml und \(494\) ml außerhalb, also \(2\) von \(5\) Flaschen (\(40\,\%\)); \(495\) und \(505\) sind gerade noch zulässig (1 P.).

Gesamt : 20 Punkte