Prüfungsvorbereitung MSA: Zahlen und Terme – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Prozentwert gleich Grundwert mal Prozentsatz: \(W=240\cdot0{,}15=36\) (1 P.). Kopfrechentrick: \(10\,\%\) sind \(24\), \(5\,\%\) sind \(12\), zusammen \(36\).
   b) Nach \(15\,\%\) Rabatt zahlt man \(85\,\%\): \(240\cdot0{,}85=204\) € (1 P.). Kontrolle mit a): \(240-36=204\) €.
   c) Gesucht ist der Grundwert: \(G=\frac{W}{p}=\frac{18}{0{,}12}=150\) (1 P.). Probe: \(12\,\%\) von \(150\) sind \(18\).
   d) Beim Zinseszins wird das Kapital jedes Jahr mit \(1{,}03\) multipliziert: \(K_4=2000\cdot1{,}03^4\approx2000\cdot1{,}1255\approx2251{,}02\) € (1 P.). Ohne Zinseszins wären es nur \(2000+4\cdot60=2240\) €. Antwort: \(36\); \(204\) €; \(150\); rund \(2251{,}02\) €.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Gleiche Basis, also Exponenten addieren: \(2^4\cdot2^{-1}=2^{4+(-1)}=2^3=8\) (1 P.). Kontrolle: \(16\cdot\frac12=8\).
   b) Eine Potenz eines Produkts: Jeder Faktor wird quadriert, und bei \((x^2)^2\) werden die Exponenten multipliziert: \((3x^2)^2=3^2\cdot x^{2\cdot2}=9x^4\) (1 P.). Häufiger Fehler: \(3x^4\), weil die \(3\) vergessen wird.
   c) Teilweise Wurzelziehen: \(48=16\cdot3\), wobei \(16\) die größte enthaltene Quadratzahl ist. \(\sqrt{48}=\sqrt{16}\cdot\sqrt3=4\sqrt3\approx6{,}93\) (1 P.).
   d) Wissenschaftliche Schreibweise heißt Zahl zwischen \(1\) und \(10\) mal Zehnerpotenz. Aus \(0{,}00072\) wird \(7{,}2\), das Komma wandert \(4\) Stellen nach rechts, also \(7{,}2\cdot10^{-4}\) (1 P.). Antwort: \(8\); \(9x^4\); \(4\sqrt3\); \(7{,}2\cdot10^{-4}\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Zweite binomische Formel \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) mit \(a=x\), \(b=5\): \((x-5)^2=x^2-10x+25\) (1 P.). Typischer Fehler: \(x^2-25\) ohne das Mittelglied.
   b) Dritte binomische Formel \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) mit \(a=2x\), \(b=3\): \((2x)^2-3^2=4x^2-9\) (1 P.).
   c) Rückwärts: \(x^2\) ist \(a^2\) mit \(a=x\), \(9\) ist \(b^2\) mit \(b=3\), und das Mittelglied \(6x=2\cdot x\cdot3\) passt. Also \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (1 P.).
   d) \(9x^2=(3x)^2\) und \(16=4^2\); eine Differenz zweier Quadrate wird mit der dritten Formel zerlegt: \(9x^2-16=(3x+4)(3x-4)\) (1 P.). Probe durch Ausmultiplizieren: \(9x^2-12x+12x-16=9x^2-16\). Antwort wie oben, jede Teilaufgabe 1 P.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Klammer auflösen: \(4x-4=2x+8\). \(2x\) abziehen und \(4\) addieren: \(2x=12\), also \(x=6\) (1 P.). Probe: \(4\cdot5=20\) und \(12+8=20\).
   b) Normalform mit \(p=-5\), \(q=-14\). pq-Formel: \(x=2{,}5\pm\sqrt{6{,}25+14}=2{,}5\pm\sqrt{20{,}25}=2{,}5\pm4{,}5\), also \(x_1=7\), \(x_2=-2\) (1 P.). Vieta: \(7+(-2)=5\) und \(7\cdot(-2)=-14\), passt.
   c) Einsetzungsverfahren: Aus \(3x-y=5\) folgt \(y=3x-5\). Eingesetzt in die erste Gleichung: \(x+2(3x-5)=11\), also \(7x-10=11\), \(x=3\); dann \(y=3\cdot3-5=4\) (1 P.).
   d) Probe mit \(x=3\), \(y=4\): \(3+2\cdot4=11\) und \(3\cdot3-4=5\). Beide Gleichungen sind erfüllt, \(L=\{(3|4)\}\) (1 P.).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Variablen: \(a\) Anzahl der Erwachsenen, \(s\) Anzahl der Schüler. Kartenzahl: \(a+s=150\). Einnahmen: \(8a+5s=960\) (1 P.).
   b) Einsetzungsverfahren: Aus der ersten Gleichung folgt \(s=150-a\). Eingesetzt: \(8a+5(150-a)=960\), also \(8a+750-5a=960\) und \(3a=210\), \(a=70\) (1 P.). Dann \(s=150-70=80\) (1 P.).
   c) Es kamen \(70\) Erwachsene und \(80\) Schüler (1 P.). Probe: \(70+80=150\) Karten und \(70\cdot8+80\cdot5=560+400=960\) €. Plausibilitätskontrolle: Hätten alle \(150\) Besucher \(5\) € bezahlt, wären es \(750\) €; jeder Erwachsene bringt \(3\) € mehr, und \(210:3=70\) bestätigt das Ergebnis auf einem zweiten Weg.

Gesamt : 20 Punkte