Prüfungsvorbereitung MSA: Funktionen – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Steigung aus den Koordinatendifferenzen: \(m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-2-4}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2\) (1 P.). Den Achsenabschnitt bestimmt man durch Einsetzen von \(A\) in \(y=-2x+b\): \(4=-2\cdot(-1)+b=2+b\), also \(b=2\). Gleichung: \(y=-2x+2\) (1 P.). Probe mit \(B\): \(-2\cdot2+2=-2\), stimmt.
   b) Nullstelle: \(-2x+2=0\), also \(2x=2\) und \(x=1\). Der Graph schneidet die \(x\)-Achse in \(N(1|0)\) (1 P.).
   c) Punktprobe: \(y(3)=-2\cdot3+2=-4\). Das ist genau die \(y\)-Koordinate von \(P\), also liegt \(P(3|-4)\) auf der Geraden (1 P.). Antwort: \(y=-2x+2\), Nullstelle \(x=1\), \(P\) liegt auf \(g\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Quadratische Ergänzung: Die Hälfte von \(-4\) ist \(-2\), das Quadrat \(4\). \(f(x)=x^2-4x+4-4-5=(x-2)^2-9\) (1 P.).
   b) Aus der Scheitelpunktform \((x-d)^2+e\) liest man \(S(d|e)=S(2|-9)\) ab (1 P.). Der Scheitel ist der tiefste Punkt, weil die Parabel nach oben geöffnet ist.
   c) \((x-2)^2-9=0\) bedeutet \((x-2)^2=9\), also \(x-2=3\) oder \(x-2=-3\). Nullstellen: \(x_1=5\), \(x_2=-1\) (1 P.). Kontrolle: Sie liegen symmetrisch zur Scheitelstelle \(2\), denn \(\frac{5+(-1)}{2}=2\).
   d) \(f(0)=0-0-5=-5\); der Graph schneidet die \(y\)-Achse in \((0|-5)\) (1 P.). Antwort: \(f(x)=(x-2)^2-9\), \(S(2|-9)\), Nullstellen \(-1\) und \(5\), \(y\)-Achsenabschnitt \(-5\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Gemeinsame Punkte haben gleiche Funktionswerte, daher \(f(x)=g(x)\): \(x^2-2x-3=2x-3\) (1 P.). Auf beiden Seiten \(2x-3\) abziehen ergibt \(x^2-4x=0\). Weil das absolute Glied fehlt, klammert man aus: \(x(x-4)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ist \(x_1=0\) oder \(x_2=4\) (1 P.).
   b) Die \(y\)-Werte erhält man durch Einsetzen in die einfachere Funktion \(g\): \(g(0)=-3\) und \(g(4)=8-3=5\) (1 P.). Kontrolle mit \(f\): \(f(0)=-3\) und \(f(4)=16-8-3=5\), beide stimmen überein. Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|-3)\) und \(S_2(4|5)\) (1 P.). Bemerkung: Beide Graphen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(-3\), deshalb ist \(S_1\) zugleich ihr Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Zinsfaktor bei \(3\,\%\): \(q=1{,}03\). Funktion: \(K(n)=2500\cdot1{,}03^n\), \(n\) in Jahren (1 P.).
   b) \(K(10)=2500\cdot1{,}03^{10}\approx2500\cdot1{,}3439\approx3359{,}79\) € (1 P.).
   c) \(3000\) € entsprechen dem Faktor \(\frac{3000}{2500}=1{,}2\). Wertetabelle: \(K(6)=2500\cdot1{,}194\approx2985{,}13\) € liegt noch unter \(3000\) €, \(K(7)\approx3074{,}68\) € darüber. Nach \(7\) Jahren sind es erstmals mehr als \(3000\) € (1 P.).
   d) Das Wachstum ist nicht linear, sondern exponentiell. Der jährliche Zuwachs beträgt im ersten Jahr \(75\) €, im zweiten schon \(77{,}25\) €, weil die Zinsen mitverzinst werden. Konstant ist nicht die Differenz, sondern der Faktor \(1{,}03\) (1 P.). Antwort: \(K(n)=2500\cdot1{,}03^n\); \(3359{,}79\) €; \(7\) Jahre; exponentiell.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Die beiden Seiten senkrecht zur Mauer sind je \(x\) m lang und verbrauchen \(2x\) m Zaun. Für die Seite parallel zur Mauer bleiben \(36-2x\) m. Fläche gleich Länge mal Breite: \(A(x)=x(36-2x)\) (1 P.).
   b) \(A(6)=6\cdot24=144\), \(A(9)=9\cdot18=162\), \(A(12)=12\cdot12=144\), jeweils in \(\mathrm{m}^2\) (1 P.). Die Werte für \(6\) und \(12\) sind gleich, das Maximum liegt also vermutlich in der Mitte bei \(9\).
   c) \(A(x)=-2x^2+36x=-2(x^2-18x+81)+162=-2(x-9)^2+162\). Scheitel \(S(9|162)\): Bei \(x=9\) m ist die Fläche mit \(162\,\mathrm{m}^2\) am größten; die Mauerseite ist dann \(18\) m lang (1 P.).
   d) Beide Seitenlängen müssen positiv sein: \(x\gt0\) und \(36-2x\gt0\), also \(0\lt x\lt18\) (1 P.).

Gesamt : 20 Punkte