Prüfungsvorbereitung MSA: Funktionen – Mathe Klasse 10 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Gerade

Bestimme die Gerade durch \(A(1|3)\) und \(B(4|9)\).

\(m=\frac{6}{3}=2\). Aus \(3=2\cdot1+b\) folgt \(b=1\). Die Gerade lautet \(y=2x+1\).

Beispiel 2: Nullstellen und Scheitel

\(f(x)=x^2-2x-3\). Bestimme Nullstellen, Scheitel und y-Achsenabschnitt.

pq-Formel: \(x=1\pm\sqrt{1+3}=1\pm2\), also \(x_1=3\) und \(x_2=-1\).

Der Scheitel liegt in der Mitte bei \(x=1\), und \(f(1)=-4\). Also \(S(1|-4)\). Der y-Achsenabschnitt ist \(-3\).

Beispiel 3: Parabel aus Scheitel und Punkt

Eine Parabel hat den Scheitel \(S(1|2)\) und geht durch \(P(3|10)\).

Ansatz \(f(x)=a(x-1)^2+2\). Einsetzen: \(10=a\cdot4+2\), also \(a=2\). Die Funktion lautet \(f(x)=2(x-1)^2+2\).

Beispiel 4: Parabel und Gerade

Schneide \(f(x)=x^2-2x-3\) und \(g(x)=x-3\).

\(x^2-2x-3=x-3\), also \(x^2-3x=0\) und \(x(x-3)=0\). Die Lösungen sind \(x=0\) und \(x=3\).

Die y-Werte aus \(g\): Schnittpunkte \((0|-3)\) und \((3|0)\). Eine Parabel und eine Gerade haben zwei, einen oder keinen Schnittpunkt.

Beispiel 5: Bestand

Ein Bestand von 500 wächst um 4 % pro Jahr. Wie groß ist er nach 10 Jahren?

\(500\cdot1{,}04^{10}\approx740{,}12\).

Beispiel 6: Faktor aus zwei Werten

Ein Wert beträgt zu Beginn 200 und nach 3 Jahren 270,4. Wie hoch ist das jährliche Wachstum?

\(200\cdot b^3=270{,}4\), also \(b^3=1{,}352\) und \(b=\sqrt[3]{1{,}352}\approx1{,}105\). Das entspricht etwa 11 % Wachstum pro Jahr. Im MSA sind die Zahlen meist so gewählt, dass sich glatte Faktoren ergeben, zum Beispiel \(b=2\) oder \(b=1{,}1\).

Beispiel 7: Ballwurf

Die Höhe eines Balls ist \(h(t)=-5t^2+20t\) (in m, \(t\) in s). Wann landet er, und wie hoch fliegt er?

Er landet, wenn \(h=0\): \(-5t(t-4)=0\), also nach 4 Sekunden.

Die größte Höhe liegt im Scheitel bei \(t=2\): \(h(2)=-20+40=20\) m.

Beispiel 8: Typ erkennen

Die Tabelle zeigt \(x=0,1,2,3\) mit \(y=1,3,9,27\). Welcher Typ liegt vor, und wie lautet die Funktion?

Die Differenzen (2; 6; 18) sind nicht konstant, die Quotienten (3; 3; 3) schon. Es ist exponentielles Wachstum mit \(a=1\) und \(b=3\): \(f(x)=3^x\).

Beispiel 9: Quadratische Ergänzung

Bringe \(f(x)=x^2-6x+5\) auf die Scheitelpunktform und gib den Scheitel und die Nullstellen an.

Die quadratische Ergänzung nimmt die Hälfte des Koeffizienten von \(x\), hier \(-3\), und quadriert sie: \(x^2-6x+5=x^2-6x+9-9+5=(x-3)^2-4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(3|-4)\). Die Nullstellen folgen aus \((x-3)^2=4\), also \(x-3=\pm2\) und damit \(x=1\) oder \(x=5\). Die Parabel ist nach oben geöffnet, weil der Faktor vor der Klammer \(+1\) ist.

Beispiel 10: Handytarife vergleichen

Tarif A kostet 5 € Grundgebühr plus 8 Cent je Minute, Tarif B kostet 10 € Grundgebühr plus 3 Cent je Minute. Ab wie vielen Minuten ist B günstiger?

Die Kostenfunktionen sind \(A(x)=5+0{,}08x\) und \(B(x)=10+0{,}03x\) mit \(x\) in Minuten. Gleichsetzen ergibt \(5+0{,}08x=10+0{,}03x\), also \(0{,}05x=5\) und \(x=100\). Bei 100 Minuten kosten beide 13 €. Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, fährt mit B günstiger, denn die Gerade \(B\) hat die kleinere Steigung. Der Schnittpunkt der Geraden ist \((100|13)\).

Beispiel 11: Der Ballwurf

Die Höhe eines geworfenen Balls beträgt \(h(t)=-5t^2+20t+1{,}5\) (\(t\) in Sekunden, \(h\) in Metern). Wann ist der Ball am höchsten, und wann trifft er den Boden?

Der Scheitel liegt bei \(t=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2\) mit \(h(2)=-20+40+1{,}5=21{,}5\) m. Der Ball ist nach 2 Sekunden am höchsten. Den Boden erreicht er bei \(h(t)=0\): \(-5t^2+20t+1{,}5=0\), also \(t^2-4t-0{,}3=0\). Die pq-Formel liefert \(t=2\pm\sqrt{4{,}3}\approx2\pm2{,}07\). Die negative Lösung ist sinnlos, also trifft der Ball nach etwa 4,07 Sekunden auf.