Prüfungsvorbereitung MSA: Geometrie und Stochastik – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Wand, Boden und Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck; die Leiter ist die Hypotenuse. \(h=\sqrt{6^2-1{,}8^2}=\sqrt{36-3{,}24}=\sqrt{32{,}76}\approx5{,}72\) m (1 P.).
   b) Der Winkel \(\alpha\) liegt am Fuß der Leiter. Bekannt sind die Ankathete \(1{,}8\) m und die Hypotenuse \(6\) m, also passt der Kosinus: \(\cos\alpha=\frac{1{,}8}{6}=0{,}3\), \(\alpha=\cos^{-1}(0{,}3)\approx72{,}5^\circ\) (2 P.). Viele Sicherheitsregeln empfehlen etwa \(65^\circ\) bis \(75^\circ\), die Leiter steht also sicher.
   c) Jetzt ist die Höhe \(5\) m vorgegeben und der Abstand am Boden gesucht: \(x=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{11}\approx3{,}32\) m (1 P.). Je weiter der Fuß von der Wand steht, desto niedriger reicht die Leiter. Antwort: \(5{,}72\) m; \(72{,}5^\circ\); \(3{,}32\) m.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Skizze: Vom Messgerät führt eine waagerechte Strecke von \(40\) m bis zur Turmachse (Ankathete). Senkrecht darüber liegt der Turmteil oberhalb der Gerätehöhe (Gegenkathete). Die Peillinie zur Spitze ist die Hypotenuse, der Winkel \(32^\circ\) liegt am Messgerät (1 P.).
   b) \(\tan32^\circ=\frac{x}{40}\), also \(x=40\cdot\tan32^\circ\approx40\cdot0{,}625\approx25{,}0\) m (1 P.). Dazu kommt die Gerätehöhe: \(25{,}0+1{,}7=26{,}7\) m (1 P.).
   c) Bei \(35\) m Turmhöhe liegt die Spitze \(35-1{,}7=33{,}3\) m über dem Gerät. \(\tan\alpha=\frac{33{,}3}{40}=0{,}8325\), also \(\alpha\approx39{,}8^\circ\) (1 P.). Wer die Gerätehöhe vergisst, erhält falsch \(41{,}2^\circ\). Antwort: Der Turm ist etwa \(26{,}7\) m hoch; bei \(35\) m Höhe wäre der Peilwinkel etwa \(39{,}8^\circ\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Zylinder: \(V_Z=\pi r^2h=\pi\cdot4^2\cdot10=160\pi\approx502{,}7\,\mathrm{cm}^3\) (1 P.).
   b) Die Oberfläche besteht aus Boden, Deckel und Mantel. \(O=2\pi r^2+2\pi rh=32\pi+80\pi=112\pi\approx351{,}9\,\mathrm{cm}^2\) (1 P.). Der Mantel ist abgewickelt ein Rechteck mit der Breite \(2\pi r\approx25{,}1\) cm und der Höhe \(10\) cm.
   c) Kegel: \(V_K=\frac13\pi r^2h=\frac13\cdot160\pi\approx167{,}6\,\mathrm{cm}^3\) (1 P.). Vergleich: \(\frac{V_Z}{V_K}=\frac{502{,}7}{167{,}6}=3\). Bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe hat der Kegel genau ein Drittel des Zylindervolumens; anschaulich passen drei Kegelfüllungen in den Zylinder (1 P.). Antwort: \(502{,}7\,\mathrm{cm}^3\); \(351{,}9\,\mathrm{cm}^2\); \(167{,}6\,\mathrm{cm}^3\), Verhältnis \(3:1\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   Insgesamt sind \(8\) Kugeln in der Urne; beim zweiten Zug ohne Zurücklegen nur noch \(7\).
   a) Pfad gelb-gelb: \(\frac58\cdot\frac47=\frac{20}{56}=\frac5{14}\approx0{,}357\) (1 P.).
   b) Verschiedene Farben ergeben die Pfade gelb-grün \(\frac58\cdot\frac37=\frac{15}{56}\) und grün-gelb \(\frac38\cdot\frac57=\frac{15}{56}\). Summe: \(\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\approx0{,}536\) (2 P.).
   c) „Mindestens eine grüne“ ist das Gegenereignis von „zwei gelbe“: \(1-\frac5{14}=\frac9{14}\approx0{,}643\) (1 P.). Kontrolle direkt: \(P(\text{grün-grün})=\frac38\cdot\frac27=\frac6{56}\), dazu \(\frac{30}{56}\) aus b) ergibt \(\frac{36}{56}=\frac9{14}\). Alle vier Pfade zusammen: \(\frac{20+15+15+6}{56}=1\). Antwort: \(35{,}7\,\%\); \(53{,}6\,\%\); \(64{,}3\,\%\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Der Ring ist die große Kreisfläche ohne die kleine: \(A=\pi\cdot15^2-\pi\cdot5^2=225\pi-25\pi=200\pi\approx628{,}3\,\mathrm{cm}^2\) (1 P.).
   b) Jeder Punkt der Scheibe ist gleich wahrscheinlich, also ist die Trefferwahrscheinlichkeit ein Flächenverhältnis: \(P=\frac{25\pi}{225\pi}=\frac19\approx0{,}111\) (1 P.). Merke: Der Radius ist ein Drittel, die Fläche aber nur ein Neuntel.
   c) Die Würfe sind unabhängig. Gegenereignis: zweimal nicht innen, mit \(\frac89\cdot\frac89=\frac{64}{81}\). Also \(P(\text{mindestens einmal innen})=1-\frac{64}{81}=\frac{17}{81}\approx0{,}210\) (2 P.). Kontrolle über alle Pfade: \(2\cdot\frac19\cdot\frac89+\frac1{81}=\frac{16+1}{81}\). Antwort: \(628{,}3\,\mathrm{cm}^2\); etwa \(11{,}1\,\%\); etwa \(21\,\%\).

Gesamt : 20 Punkte