Logarithmen – Mathe Klasse 10 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Berechne die Logarithmen im Kopf. Überlege jeweils: Mit welchem Exponenten ergibt die Basis den Numerus?

a) Fülle die Tabelle aus und begründe jeden Wert mit einer Potenz.
b) Berechne außerdem \(\log_2\frac14\), \(\lg0{,}01\) und \(\log_{10}1\).
c) Erkläre in einem Satz, warum \(\log_2(-4)\) nicht existiert.

Schreibe jede Aussage in die andere Form um: Potenz in Logarithmus bzw. Logarithmus in Potenz.

a) \(2^5=32\)
b) \(10^{-3}=0{,}001\)
c) \(3^x=7\)
d) \(\log_4 64=3\)
e) \(\log_5 x=-2\)

Bestimme in jeder Gleichung die unbekannte Größe, indem du den Logarithmus in eine Potenz umschreibst.

a) \(\log_3 x=4\)
b) \(\log_x 64=3\)
c) \(\log_2 x=-3\)
d) \(\log_x5=\frac12\)

Fasse mit den Logarithmengesetzen zu einem Logarithmus zusammen und berechne den Wert.

a) \(\lg4+\lg25\)
b) \(\log_2 12-\log_2 3\)
c) \(3\log_5 2+\log_5\frac{25}8\)
d) \(2\log_3 6-\log_3 4\)

Gegeben sind \(\lg2\approx0{,}301\) und \(\lg3\approx0{,}477\). Berechne daraus ohne Taschenrechner mit den Logarithmengesetzen, indem du die Zahl in Faktoren zerlegst.

a) \(\lg6\)
b) \(\lg12\)
c) \(\lg18\)
d) \(\lg0{,}5\)
e) \(\lg8\)

Berechne mit dem Taschenrechner und der Formel \(\log_ba=\frac{\lg a}{\lg b}\). Runde auf zwei Nachkommastellen.

a) \(\log_2 10\)
b) \(\log_3 50\)
c) \(\log_5 0{,}2\)
d) \(\log_7 100\)

Löse die Gleichungen. Isoliere zuerst die Potenz, logarithmiere dann und runde auf zwei Nachkommastellen.

a) \(2^x=20\)
b) \(3^x=100\)
c) \(1{,}05^x=2\)
d) \(0{,}5^x=0{,}1\)
e) \(5\cdot2^x=80\)

Löse die Gleichungen und gib den Definitionsbereich an. Prüfe am Ende, ob die Lösungen im Definitionsbereich liegen.

a) \(\log_2(x+3)=5\)
b) \(\lg(2x)=2\)
c) \(\log_3(x-1)=-1\)
d) \(\log_5(x^2)=2\)

Der pH-Wert einer Lösung ist \(\text{pH}=-\lg c\), wobei \(c\) die Konzentration der Wasserstoff-Ionen in mol/l ist.

a) Berechne die pH-Werte von Zitronensaft und Milch.
b) Berechne die Konzentrationen von Regenwasser (pH 5,6) und von Seifenlauge (pH 10).
c) Um welchen Faktor unterscheiden sich die Konzentrationen bei pH 3 und pH 5?
d) Ein pH-Wert von 7 ist neutral. Wie ändert sich die Konzentration, wenn der pH-Wert um 1 steigt?

Der Schallpegel \(L=10\cdot\lg\frac{I}{I_0}\) wird in Dezibel (dB) angegeben, wobei \(I_0\) die Hörschwelle ist.

a) Berechne in der Tabelle das Verhältnis \(I/I_0\) für die drei Geräusche.
b) Um wie viele Dezibel steigt der Pegel, wenn sich die Intensität verdoppelt?
c) Zwei gleich laute Maschinen mit je 80 dB laufen gleichzeitig. Wie laut ist es dann?
d) Ein Kopfhörer erzeugt 100 dB. Wie viel mal so intensiv ist das wie bei 70 dB (Straße)?

Die freigesetzte Energie eines Erdbebens wächst mit der Magnitude \(M\) wie \(E\sim10^{1{,}5M}\). Ein Beben mit der Magnitude 6,8 ereignet sich in Südeuropa, ein schwächeres mit 5,4 einige Monate vorher.

a) Um welchen Faktor ist ein Beben der Stärke \(M+1\) energiereicher als eines der Stärke \(M\)?
b) Um welchen Faktor übertrifft das Beben mit 6,8 das mit 5,4?
c) Wie viele Beben der Stärke 5,4 braucht man (energetisch), um ein Beben der Stärke 6,8 zu ersetzen?
d) Wie groß müsste die Magnitude sein, damit die Energie 1000-mal so groß ist wie bei Stärke 5?

Berechne mit dem Logarithmus, wie lange ein Kapital zu festen Zinssätzen mit Zinseszins anlegt werden muss.

a) A: Nach wie vielen Jahren werden aus 3000 € bei 3 % Zinsen 4000 €?
b) B: Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei 2,5 %?
c) C: Nach wie vielen Jahren verdreifacht es sich bei 4 %?
d) Vergleiche B mit der 72er-Regel.

Das Kohlenstoff-Isotop \(^{14}\)C hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren. Archäologen bestimmen damit das Alter von Holzfunden. In einem Fund aus dem Wald ist nur noch ein Teil der ursprünglichen Menge vorhanden.

a) Wie alt ist Balken A? Begründe ohne Taschenrechner.
b) Berechne das Alter von Balken B mit dem Logarithmus.
c) Berechne das Alter von Balken C.
d) Warum ist das Verfahren für Funde von nur 100 Jahren ungenau?

Auf einem Brot breitet sich Schimmel aus. Am Montag bedeckt er 2 cm², drei Tage später 6,75 cm². Das Wachstum ist exponentiell.

a) Bestimme den Wachstumsfaktor pro Tag und die Funktion \(A(t)\).
b) Nach wie vielen Tagen bedeckt der Schimmel 100 cm²?
c) Wie groß ist die Verdopplungszeit?
d) Die Brotscheibe hat eine Fläche von 150 cm². Nach wie vielen Tagen ist sie vollständig bedeckt?

Eine Tasse Kaffee enthält etwa 100 mg Koffein. Der Körper baut Koffein mit einer Halbwertszeit von 5 Stunden ab. Eine Studentin trinkt um 8 Uhr zwei Tassen.

a) Wie viel Koffein ist um 18 Uhr noch im Körper?
b) Wann sind nur noch 25 mg vorhanden (ohne Rechner)?
c) Wann sind nur noch 10 mg vorhanden (mit Logarithmus)?
d) Sie möchte um 22 Uhr schlafen. Wie viel mg sind dann noch da?

1950 lebten etwa 2,5 Milliarden Menschen auf der Erde, 2020 waren es etwa 7,8 Milliarden.

a) Um welchen Faktor ist die Bevölkerung in 70 Jahren gewachsen?
b) Wie groß war die mittlere jährliche Wachstumsrate (Prozent pro Jahr)?
c) Wann würde die Bevölkerung bei einem Wachstum von 1,1 % pro Jahr ab 2020 die 10 Milliarden erreichen?
d) Warum darf man exponentielles Wachstum nicht beliebig lange in die Zukunft fortsetzen?

Lars will 5000 € anlegen und auf 8000 € anwachsen lassen. Bank A bietet 3 % Zinsen pro Jahr, jährlich verzinst. Bank B bietet monatlich 0,25 % Zinsen, jeden Monat verzinst.

a) Berechne den Jahresfaktor von Bank B und vergleiche mit Bank A.
b) Wie lange dauert es bei Bank A, bis das Ziel erreicht ist?
c) Wie lange dauert es bei Bank B (in Monaten und in Jahren)?
d) Welche Bank ist besser? Begründe in einem Satz.

Beim Klavier ist der Frequenzfaktor für einen Halbton gleich \(q=2^{1/12}\). Nach 12 Halbtönen (einer Oktave) hat sich die Frequenz verdoppelt. Der Kammerton a hat 440 Hz.

a) Berechne den Frequenzfaktor für einen Halbton, eine Quinte (7 Halbtöne) und die Oktave.
b) Wie hoch ist der Ton, der eine Quinte über dem a liegt?
c) Wie viele Halbtöne liegen zwischen 440 Hz und 1000 Hz? Löse mit dem Logarithmus.
d) Erkläre, warum das menschliche Ohr Töne logarithmisch wahrnimmt.

Der Kanal A startet mit 5 Followern und wächst jede Woche um 20 %. Der Kanal B startet mit 2 Followern und wächst jede Woche um 50 %. Beide Zahlen sind als exponentielles Wachstum modelliert.

a) Stelle die Funktionen \(A(t)\) und \(B(t)\) auf.
b) Nach wie vielen Wochen hat A mehr als 800 Follower, nach wie vielen B?
c) Nach wie vielen Wochen überholt B den Kanal A? Löse \(5\cdot1{,}2^t=2\cdot1{,}5^t\) mit dem Logarithmus.
d) Erkläre, warum B langfristig immer vorne liegt, obwohl A mehr Follower am Anfang hat.

Löse die Gleichungen. Du brauchst Substitution, Potenzgesetze oder die Logarithmengesetze. Prüfe jeweils den Definitionsbereich.

a) \(2^{x+1}+2^x=24\)
b) \(4^x-6\cdot2^x+8=0\)
c) \(\log_2x+\log_2(x-2)=3\)
d) \(\lg(x+1)-\lg(x-1)=1\)