Exponentialfunktionen und Wachstum – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Bei exponentiellem Wachstum ist der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant. Hier: \(\frac{10}{5}=\frac{20}{10}=\frac{40}{20}=2\). Die Differenzen \(5\), \(10\), \(20\) wachsen dagegen, also liegt kein lineares Wachstum vor (1 P.).
   b) Ansatz \(f(x)=a\cdot b^x\): Der Startwert bei \(x=0\) ist \(a=5\), der Faktor \(b=2\). Also \(f(x)=5\cdot2^x\) (1 P.).
   c) \(f(5)=5\cdot2^5=5\cdot32=160\) (1 P.). Man kann auch die Tabelle fortsetzen: \(40\to80\to160\).
   d) Eine Abnahme um \(7\,\%\) lässt \(93\,\%\) übrig, also \(b=1-0{,}07=0{,}93\) (1 P.). Da \(0\lt b\lt1\) gilt, beschreibt dieser Faktor exponentielle Abnahme. Antwort: konstanter Quotient \(2\); \(f(x)=5\cdot2^x\); \(f(5)=160\); \(b=0{,}93\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Bei \(x=0\) gilt \(b^0=1\), daher ist \(f(0)=a\). Aus \(P(0|4)\) folgt sofort \(a=4\) (1 P.).
   b) Mit \(Q(3|32)\): \(4\cdot b^3=32\), also \(b^3=8\). Die dritte Wurzel liefert \(b=2\) (1 P.). Inhaltlich: Zwischen \(x=0\) und \(x=3\) wird dreimal mit \(b\) multipliziert, insgesamt mit dem Faktor \(8\).
   c) \(f(5)=4\cdot2^5=4\cdot32=128\) (1 P.).
   d) \(4\cdot2^x=256\) wird durch \(4\) geteilt: \(2^x=64\). Wegen \(2^6=64\) ist \(x=6\) (1 P.). Alternativ mit dem Logarithmus: \(x=\log_264=6\). Probe: \(4\cdot64=256\). Antwort: \(f(x)=4\cdot2^x\), \(f(5)=128\), \(x=6\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Alle \(6\) Stunden halbiert sich die Menge: nach \(6\) h \(320\) mg, nach \(12\) h \(160\) mg, nach \(18\) h \(80\) mg (1 P.).
   b) Die Zahl der Halbwertszeiten nach \(t\) Stunden ist \(\frac t6\). Damit \(m(t)=640\cdot0{,}5^{t/6}\) (1 P.). Probe: \(m(6)=640\cdot0{,}5=320\).
   c) \(15\) h entsprechen \(2{,}5\) Halbwertszeiten: \(m(15)=640\cdot0{,}5^{2{,}5}\approx640\cdot0{,}1768\approx113{,}1\) mg (1 P.). Der Wert liegt plausibel zwischen \(160\) und \(80\) mg.
   d) \(640\cdot0{,}5^{t/6}=10\) führt auf \(0{,}5^{t/6}=\frac{10}{640}=\frac1{64}=0{,}5^6\). Exponentenvergleich: \(\frac t6=6\), also \(t=36\) h (1 P.). Antwort: Nach \(36\) Stunden, also eineinhalb Tagen, sind nur noch \(10\) mg im Körper.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Zinsfaktor \(q=1{,}04\). Nach sechs Jahren: \(K_6=3000\cdot1{,}04^6\approx3000\cdot1{,}26532\approx3795{,}96\) € (1 P.).
   b) Die Zinsen sind der Zuwachs: \(3795{,}96-3000=795{,}96\) € (1 P.).
   c) Gesucht ist \(n\) mit \(3000\cdot1{,}04^n\gt4000\), also \(1{,}04^n\gt\frac43\approx1{,}333\). Probieren: \(1{,}04^7\approx1{,}316\) reicht nicht, \(1{,}04^8\approx1{,}369\) reicht. Nach \(8\) Jahren (1 P.). Mit Logarithmus: \(n=\frac{\lg(4/3)}{\lg1{,}04}\approx7{,}33\), aufgerundet \(8\).
   d) Einfache Zinsen: jedes Jahr \(3000\cdot0{,}04=120\) €, nach sechs Jahren \(3000+720=3720\) €. Mit Zinseszins sind es \(3795{,}96-3720\approx76\) € mehr, weil auch die Zinsen verzinst werden (1 P.).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Anfangsfläche \(2\,\mathrm{m}^2\), wöchentliche Zunahme \(40\,\%\), also Faktor \(1{,}4\): \(A(t)=2\cdot1{,}4^t\) (1 P.).
   b) \(A(6)=2\cdot1{,}4^6\approx2\cdot7{,}53\approx15{,}1\,\mathrm{m}^2\) (1 P.).
   c) Die Hälfte des Teichs sind \(60\,\mathrm{m}^2\). Wertetabelle: \(A(10)\approx57{,}9\lt60\), \(A(11)\approx81{,}0\gt60\). Also ist nach \(11\) Wochen mehr als die Hälfte bedeckt (1 P.).
   d) Ganz bedeckt bedeutet \(120\,\mathrm{m}^2\): \(A(12)\approx113{,}4\lt120\) und \(A(13)\approx158{,}7\gt120\). Nach \(13\) Wochen (1 P.). Bemerkenswert: Von halb bis ganz bedeckt vergehen nur etwa zwei Wochen, weil das Wachstum immer schneller wird. Kritik am Modell: Mehr als \(120\,\mathrm{m}^2\) ist unmöglich, das Wachstum muss vorher gebremst werden.

Gesamt : 20 Punkte