Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Für \(f(x)=x^4\) gilt \(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\): Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, typisch für gerade Exponenten. Für \(g(x)=x^5\) gilt \(g(-x)=(-x)^5=-x^5=-g(x)\): Punktsymmetrie zum Ursprung, typisch für ungerade Exponenten (1 P.).
   b) \(f(-2)=(-2)^4=16\), weil vier negative Faktoren ein positives Produkt ergeben; \(g(-2)=(-2)^5=-32\), weil fünf negative Faktoren ein negatives Produkt ergeben (1 P.). Die Symmetrie bestätigt das: \(f(2)=16\), \(g(2)=32\).
   c) \(f\): Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\), beide Enden zeigen nach oben, ähnlich einer Parabel, aber nahe \(0\) flacher (1 P.). \(g\): Für \(x\to-\infty\) geht \(g(x)\to-\infty\), für \(x\to+\infty\) geht \(g(x)\to+\infty\); der Graph verläuft von links unten nach rechts oben (1 P.).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Bei ungeradem Exponenten gibt es genau eine Lösung, auch für negative Zahlen: \(x=\sqrt[3]{-64}=-4\), denn \((-4)^3=-64\) (1 P.).
   b) Bei geradem Exponenten und positiver rechter Seite gibt es zwei Lösungen: \(x=\pm\sqrt[4]{81}=\pm3\), denn \(3^4=(-3)^4=81\) (1 P.).
   c) \(x^{-2}=\frac1{x^2}\). Aus \(\frac2{x^2}=0{,}5\) folgt nach Multiplikation mit \(x^2\) und Division durch \(0{,}5\): \(x^2=4\), also \(x=\pm2\) (1 P.). Dabei muss \(x\ne0\) sein. Probe: \(\frac{2}{4}=0{,}5\).
   d) Eine gerade Potenz einer reellen Zahl ist nie negativ, \(x^4\ge0\). Daher hat \(x^4=-5\) keine Lösung, \(L=\{\}\) (1 P.). Geometrisch: Der Graph von \(x^4\) liegt nie unterhalb der \(x\)-Achse und trifft die Gerade \(y=-5\) nicht.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen: \(x-1\ge0\), also \(D=\{x\mid x\ge1\}\). Die Wurzel selbst ist mindestens \(0\), dazu kommt \(+2\); der Wertebereich ist \(W=\{y\mid y\ge2\}\) (1 P.).
   b) Für alle \(x\) aus \(D\) gilt \(\sqrt{x-1}\ge0\) und damit \(f(x)\ge2\gt0\). Der Graph erreicht die \(x\)-Achse nie, es gibt keine Nullstelle (1 P.).
   c) \(f(5)=\sqrt{5-1}+2=\sqrt4+2=2+2=4\) (1 P.).
   d) Das \(-1\) unter der Wurzel verschiebt den Graphen von \(\sqrt x\) um \(1\) nach rechts; das \(+2\) verschiebt ihn um \(2\) nach oben (1 P.). Der Startpunkt wandert von \((0|0)\) nach \((1|2)\). Häufiger Fehler: Das Minuszeichen in der Klammer als Verschiebung nach links deuten.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Beide Seiten werden quadriert: \(3x+4=x^2\). Umstellen: \(x^2-3x-4=0\). pq-Formel: \(x=1{,}5\pm\sqrt{2{,}25+4}=1{,}5\pm2{,}5\), also \(x_1=4\) und \(x_2=-1\) (2 P.). Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung; es können Scheinlösungen entstehen.
   b) Probe in der Ausgangsgleichung: Für \(x=4\) ist links \(\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4\) und rechts \(4\), wahr. Für \(x=-1\) ist links \(\sqrt{-3+4}=\sqrt1=1\), rechts aber \(-1\); da \(1\ne-1\), ist die Aussage falsch (1 P.).
   c) Nur \(x=4\) besteht die Probe: \(L=\{4\}\) (1 P.). Die Scheinlösung \(-1\) gehört zur Gleichung \(-\sqrt{3x+4}=x\), die beim Quadrieren dieselbe quadratische Gleichung ergibt. Deshalb ist die Probe bei Wurzelgleichungen Pflicht.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) \(t=\sqrt{\frac{2\cdot80}{9{,}81}}=\sqrt{16{,}31}\approx4{,}04\) s (1 P.).
   b) Die Formel wird nach dem Weg umgestellt: Quadrieren liefert \(t^2=\frac{2s}{g}\), also \(s=\frac12gt^2=\frac12\cdot9{,}81\cdot3^2\approx44{,}1\) m (1 P.).
   c) Bei vierfacher Höhe steht unter der Wurzel das Vierfache: \(t'=\sqrt{\frac{2\cdot4h}{g}}=\sqrt4\cdot\sqrt{\frac{2h}{g}}=2t\). Die Fallzeit verdoppelt sich nur (1 P.). Das zeigt den typischen Verlauf einer Wurzelfunktion: Sie wächst immer langsamer.
   d) \(h=\frac12gt^2=\frac12\cdot9{,}81\cdot2^2=19{,}62\approx19{,}6\) m (1 P.). Kontrolle mit c): \(80\) m ist etwa das Vierfache von \(19{,}6\) m, und \(4{,}04\) s ist etwa das Doppelte von \(2\) s. Antwort: \(4{,}04\) s; \(44{,}1\) m; Faktor \(2\); \(19{,}6\) m.

Gesamt : 20 Punkte