Lógica, conjuntos y demostraciones – matemáticas 1º Grado (Universidad): examen para descargar en PDF

Sean \(p\) y \(q\) proposiciones.

1. (2 pt) Demuestra con una tabla de verdad que \([p\wedge(p\to q)]\to q\) es una tautología.
2. (1 pt) ¿Cómo se llama esta regla de inferencia?
3. (1 pt) Escribe la negación de \(p\to(q\vee r)\).

Trabaja en \(\mathbb R\).

1. (2 pt) Decide si \(\forall x\ \exists y:\ x+y=0\) y \(\exists y\ \forall x:\ x+y=0\) son verdaderas.
2. (2 pt) Niega: «\(f\) es acotada»: \(\exists M>0\ \forall x:\ |f(x)|\le M\).

En un colegio mayor de Granada viven 80 estudiantes: 45 juegan al pádel, 38 al baloncesto y 20 a los dos.

1. (2 pt) ¿Cuántos practican al menos uno de los dos deportes?
2. (1 pt) ¿Cuántos ninguno?
3. (1 pt) ¿Cuántos solo pádel?

Demuestra por inducción.

1. (3 pt) \(1\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).
2. (3 pt) \(n^3-n\) es divisible por 6 para todo \(n\ge1\).

Demuestra que \(\sqrt3\) es irracional.

1. (2 pt) Usa que si \(3\mid p^2\), entonces \(3\mid p\).