Polígonos y circunferencia – matemáticas 1º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, decágono y dodecágono.
   2. Pentágono: 5·2 : 2 = 5 diagonales. Hexágono: 6·3 : 2 = 9 diagonales.
   3. Es el que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales: el triángulo equilátero y el cuadrado, por ejemplo.
   4. No: un polígono está formado solo por segmentos rectos.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Cuadrilátero: 2 · 180° = 360°. Pentágono: 3 · 180° = 540°.
   2. Suma 4 · 180° = 720°; cada ángulo 720° : 6 = 120°.
   3. 360° − (80° + 95° + 110°) = 75°.
   4. Suma 6 · 180° = 1 080°; cada ángulo 1 080° : 8 = 135°.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Tiene dos lados iguales (5 cm y 5 cm) y uno distinto: es un triángulo isósceles.
   2. Tiene un ángulo de 90°: es un triángulo rectángulo. Los otros dos son agudos y suman 90°.
   3. Los ángulos de un triángulo suman 180°: 180° − (65° + 48°) = 180° − 113° = 67°.
   4. Para que exista, cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Como 3 + 4 = 7 < 9, los lados cortos no llegan a cerrarse: no existe.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Tienen los cuatro lados iguales el cuadrado y el rombo; el cuadrado además tiene los cuatro ángulos rectos.
   2. Los que tienen los lados opuestos paralelos son los paralelogramos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.
   3. Si solo tiene un par de lados paralelos, llamados bases, es un trapecio.
   4. Las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio: forman cuatro ángulos rectos y cada una divide a la otra en dos partes iguales.

5. Solución del ejercicio 5

   1. El diámetro es el doble del radio: 2 · 7 = 14 cm.
   2. La cuerda más larga es la que pasa por el centro, es decir, el diámetro: 12 cm.
   3. L = 2 · π · r = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm.
   4. El radio es la mitad del diámetro, r = 10 cm. A = π · r² = 3,14 · 100 = 314 cm².

6. Solución del ejercicio 6

   1. Comparamos la distancia de la recta al centro con el radio: 3 < 5, así que la recta entra en el círculo y es secante: corta en dos puntos.
   2. La distancia es igual al radio (5 = 5): la recta es tangente y toca la circunferencia en un solo punto.
   3. Comparamos la distancia entre centros con la suma de radios: 7 = 4 + 3, así que son tangentes exteriores: se tocan en un punto.
   4. 10 > 4 + 3 = 7: la distancia es mayor que la suma de radios, son exteriores y no se cortan.

7. Solución del ejercicio 7

   1. La rotonda tiene 24 m de diámetro, así que su radio mide 24 : 2 = 12 m.
   2. L = π · d = 3,14 · 24 = 75,36 m.
   3. Dividimos la longitud entre la separación: 75,36 : 3 = 25,12. Como no se puede plantar un árbol parcial, caben 25 árboles.
   4. A = π · r² = 3,14 · 12² = 3,14 · 144 = 452,16 m².
   5. Coste = área · precio = 452,16 · 4 = 1 808,64 €.

8. Solución del ejercicio 8

   1. En 60 minutos el minutero da una vuelta (360°); en 15 minutos, la cuarta parte: 360° : 4 = 90°.
   2. Cada minuto son 360° : 60 = 6°; en 40 minutos, 40 · 6° = 240°.
   3. En 60 minutos el extremo recorre una circunferencia de radio 1,2 m: 2 · 3,14 · 1,2 = 7,536 m.
   4. Cada hora del reloj son 360° : 12 = 30°. A las 3:00 las agujas están separadas 3 horas: 90°; a las 4:00, 4 · 30° = 120°.
   5. A = 3,14 · 1,5² = 3,14 · 2,25 = 7,065 m².

9. Solución del ejercicio 9

   1. P = 6 · 10 = 60 cm.
   2. A = 60 · 8,66 : 2 = 259,8 cm².
   3. 120°.
   4. 5 m² = 50 000 cm²; 50 000 : 259,8 = 192,5: 193 baldosas.
   5. 193 · 0,90 = 173,70 €.

10. Solución del ejercicio 10

    1. P = 5 · 8 = 40 m.
    2. A = 40 · 5,5 : 2 = 110 m².
    3. Suma 540°; cada ángulo 108°.
    4. Valla 40 · 14 = 560 €; césped 110 · 3 = 330 €; total 890 €.
    5. 5 · 2 : 2 = 5 diagonales.

11. Solución del ejercicio 11

    1. P = 14 + 8 + 5 + 5 = 32 cm.
    2. A = (14 + 8) · 4 : 2 = 44 cm².
    3. 360°.
    4. Los de la base menor miden (360° − 106°) : 2 = 127°.
    5. Un paralelogramo; si además los ángulos son rectos, un rectángulo.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Las 12 cabinas dividen la vuelta en 12 partes iguales: 360° : 12 = 30°.
    2. L = 2 · π · r = 2 · 3,14 · 10 = 62,8 m.
    3. Repartimos la longitud entre los 12 huecos: 62,8 : 12 ≈ 5,23 m.
    4. Si una vuelta (360°) dura 4 minutos, en 1 minuto recorre 360° : 4 = 90°.
    5. 12 puntos igualmente repartidos en una circunferencia son los vértices de un dodecágono regular.

13. Solución del ejercicio 13

    1. L = 3,14 · 66 = 207,24 cm.
    2. 1 km = 100 000 cm; 100 000 : 207,24 = 482,5 vueltas aproximadamente.
    3. 15 · 2,0724 = 31,09 m aproximadamente.
    4. r = 33; A = 3,14 · 1 089 = 3419,46 cm².
    5. Con una rueda más pequeña, da más vueltas para recorrer lo mismo.

14. Solución del ejercicio 14

    1. 20 · 20 = 400 cm².
    2. 400 : 4 = 100 cm².
    3. 400 : 8 = 50 cm²; lado = √50 ≈ 7,07 cm.
    4. 5 triángulos rectángulos isósceles.
    5. Respuesta abierta: se pueden formar más de 1 600 figuras.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Radio exterior 12 m; diámetro 24 m.
    2. 3,14 · 100 = 314 m².
    3. 3,14 · 144 = 452,16 m²; camino 452,16 − 314 = 138,16 m².
    4. 4 · 24 = 96 m.
    5. Cuadrado 576 m² − 452,16 m² = 123,84 m².

16. Solución del ejercicio 16

    1. P = 8 · 25 = 200 cm.
    2. A = 200 · 30,2 : 2 = 3 020 cm².
    3. 135°.
    4. 8 · 5 : 2 = 20 diagonales.
    5. 300 · 3 020 · 0,004 = 3 624 €.

17. Solución del ejercicio 17

    1. P = 240 cm; A = 240 · 34,64 : 2 = 4 156,8 cm².
    2. r = 40 + 10 = 50 cm.
    3. 3,14 · 2 500 = 7 850 cm².
    4. 7 850 − 4 156,8 = 3 693,2 cm².
    5. 7 850 · 0,012 = 94,20 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. P = 30 + 18 + 12 + 13,4 = 73,4 m.
    2. A = (30 + 18) · 12 : 2 = 288 m².
    3. 3,14 · 25 = 78,5 m².
    4. 288 − 78,5 = 209,5 m².
    5. 78,5 : 288 = 27,3 %.

19. Solución del ejercicio 19

    1. 3,14 · 36 = 113,04 cm².
    2. 10,4 · 9 : 2 = 46,8 cm².
    3. 113,04 − 46,8 = 66,24 cm².
    4. L = 2 · 3,14 · 6 = 37,68 cm.
    5. 46,8 : 113,04 = 41 %, algo más de dos quintas partes.

20. Solución del ejercicio 20

    1. El ángulo exterior mide 180° − 150° = 30°. Los ángulos exteriores suman 360°: 360° : 30° = 12 lados, es un dodecágono.
    2. Ángulo exterior = 360° : 6 = 60°; el interior es 180° − 60° = 120°.
    3. Para teselar, el ángulo interior debe dividir exactamente a 360°: 60° (×6), 90° (×4) y 120° (×3). Solo lo cumplen el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
    4. En el hexágono regular los seis triángulos centrales son equiláteros, así que el lado mide lo mismo que el radio: 3 cm. Basta con llevar la abertura del compás seis veces sobre la circunferencia.