Estadística bidimensional – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Los puntos \((1,3)\), \((2,4)\), \((3,6)\), \((4,7)\), \((5,10)\) suben de izquierda a derecha y se agrupan cerca de una recta: correlación positiva y fuerte.
   2. \(\bar x=\dfrac{15}{5}=3\) y \(\bar y=\dfrac{30}{5}=6\).
   3. \(n=5\); \(\sum x=15\), \(\sum y=30\), \(\sum x^2=55\), \(\sum y^2=210\), \(\sum xy=107\). Medias: \(\bar x=3\), \(\bar y=6\). Varianzas: \(\sigma_x^2=2\) y \(\sigma_y^2=6\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=3{,}400\). Desviaciones: \(\sigma_x=1{,}414\), \(\sigma_y=2{,}449\).
   4. \(r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}=\dfrac{3{,}400}{1{,}414\cdot2{,}449}=0{,}9815\). Es una correlación positiva muy fuerte (muy cerca de 1): a más horas de estudio, mayor nota.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Totales: tienen bicicleta \(30+20=50\); no tienen \(10+40=50\). Usan la bicicleta \(30+10=40\); no la usan \(20+40=60\). Total \(100\).
   2. \(\dfrac{40}{100}=0{,}40\): el 40 % usa la bicicleta.
   3. \(\dfrac{30}{50}=0{,}60\): el 60 % de los que tienen bicicleta la usa.
   4. \(\dfrac{10}{50}=0{,}20\). Los jóvenes que tienen bicicleta la usan el triple de veces (60 % frente a 20 %). Hay relación entre tener y usar, como es lógico.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(n=4\); \(\sum x=20\), \(\sum y=12\), \(\sum x^2=120\), \(\sum y^2=46\), \(\sum xy=46\). Medias: \(\bar x=5\), \(\bar y=3\). Varianzas: \(\sigma_x^2=5\) y \(\sigma_y^2=2{,}500\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=-3{,}500\). Desviaciones: \(\sigma_x=2{,}236\), \(\sigma_y=1{,}581\).
   2. La covarianza es negativa (\(-3{,}500\)): cuando \(x\) aumenta, \(y\) tiende a disminuir (relación inversa).
   3. \(r=\dfrac{-3{,}500}{2{,}236\cdot1{,}581}=-0{,}9899\). Correlación negativa muy fuerte.
   4. La covarianza y \(r\) no cambian, porque son simétricas: \(\sigma_{xy}=\sigma_{yx}\). Sí cambiaría la recta de regresión (la de \(x\) sobre \(y\) no es la misma que la de \(y\) sobre \(x\)).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Correlación positiva y muy fuerte: a más renta, más gasto en ocio, y los datos están casi alineados.
   2. Correlación negativa y fuerte: cuanto más viejo es el coche, menor es su precio.
   3. Correlación casi nula: no hay relación lineal entre las variables (cualquier relación aparente sería casual).
   4. Correlación negativa perfecta: todos los puntos están exactamente sobre una recta de pendiente negativa. Es una relación funcional.

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(n=6\); \(\sum x=21\), \(\sum y=362\), \(\sum x^2=91\), \(\sum y^2=23050\), \(\sum xy=1412\). Medias: \(\bar x=3{,}500\), \(\bar y=60{,}333\). Varianzas: \(\sigma_x^2=2{,}917\) y \(\sigma_y^2=201{,}556\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=24{,}167\). Desviaciones: \(\sigma_x=1{,}708\), \(\sigma_y=14{,}197\).
   2. \(b=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}=\dfrac{24{,}167}{2{,}917}=8{,}286\). La recta es \(y-60{,}333=8{,}286\,(x-3{,}5)\), es decir, \(y=8{,}286\,x+31{,}333\).
   3. Para \(x=7\): \(y=8{,}286\cdot7+31{,}333=89{,}33\), unos 89 alumnos.
   4. \(r=0{,}9967\). Es muy cercano a 1, y \(x=7\) está fuera del rango (\(1\ldots6\)) pero muy próximo: la predicción es razonable, aunque conviene no extrapolar mucho más.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(b=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}=\dfrac{3{,}400}{2}=1{,}700\). Recta: \(y-6=1{,}700(x-3)\), es decir, \(y=1{,}700\,x+0{,}900\).
   2. \(b^{\prime}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}=\dfrac{3{,}400}{6}=0{,}5667\). Recta: \(x-3=0{,}5667\,(y-6)\).
   3. La primera recta cumple \(y-6=b(x-3)\) y la segunda \(x-3=b^{\prime}(y-6)\). Si \(x=3\) e \(y=6\), ambas se verifican: pasan por \((3,\,6)\).
   4. \(b\cdot b^{\prime}=1{,}700\cdot0{,}5667=0{,}9633\) y \(r^2=0{,}9815^2=0{,}9633\). Coinciden (salvo redondeo).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(n=6\); \(\sum x=158\), \(\sum y=1460\), \(\sum x^2=4334\), \(\sum y^2=399800\), \(\sum xy=41210\). Medias: \(\bar x=26{,}333\), \(\bar y=243{,}333\). Varianzas: \(\sigma_x^2=28{,}889\) y \(\sigma_y^2=7422{,}222\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=460{,}556\). Desviaciones: \(\sigma_x=5{,}375\), \(\sigma_y=86{,}152\). Entonces \(r=\dfrac{460{,}56}{5{,}37\cdot86{,}15}=0{,}9946\): correlación positiva muy fuerte.
   2. \(b=\dfrac{460{,}56}{28{,}89}=15{,}942\) y \(a=\bar y-b\bar x=243{,}33-15{,}942\cdot26{,}33=-176{,}48\). La recta es \(y=15{,}942\,x-176{,}48\).
   3. Con \(x=30\): \(y=15{,}942\cdot30-176{,}48=301{,}8\), unos 302 helados.
   4. La pendiente (15,94) indica que, por cada grado más de temperatura, se venden aproximadamente 16 helados más.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(n=6\); \(\sum x=34\), \(\sum y=208\), \(\sum x^2=238\), \(\sum y^2=7954\), \(\sum xy=1362\). Medias: \(\bar x=5{,}667\), \(\bar y=34{,}667\). Varianzas: \(\sigma_x^2=7{,}556\) y \(\sigma_y^2=123{,}889\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=30{,}556\). Desviaciones: \(\sigma_x=2{,}749\), \(\sigma_y=11{,}131\). Entonces \(r=0{,}9987\): relación lineal positiva muy fuerte.
   2. \(b=\dfrac{30{,}556}{7{,}556}=4{,}044\) y \(a=34{,}667-4{,}044\cdot5{,}667=11{,}750\). Recta: \(y=4{,}044\,x+11{,}750\).
   3. \(y(7)=4{,}044\cdot7+11{,}750=40{,}06\) mil euros.
   4. \(y(0)=a=11{,}75\) mil euros: las ventas «base» sin publicidad. Tiene sentido (la tienda vende algo sin anunciarse), aunque 0 está fuera del rango de datos (2 a 10), por lo que es una extrapolación poco fiable.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(n=5\); \(\sum x=21\), \(\sum y=64\), \(\sum x^2=121\), \(\sum y^2=898\), \(\sum xy=218\). Medias: \(\bar x=4{,}200\), \(\bar y=12{,}800\). Varianzas: \(\sigma_x^2=6{,}560\) y \(\sigma_y^2=15{,}760\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=-10{,}160\). Desviaciones: \(\sigma_x=2{,}561\), \(\sigma_y=3{,}970\). Entonces \(r=-0{,}9992\): correlación negativa muy fuerte.
   2. \(b=-1{,}549\) y \(a=19{,}305\). Recta: \(y=-1{,}549\,x+19{,}305\).
   3. \(y(5)=-1{,}549\cdot5+19{,}305=11{,}56\) miles de euros, unos 11560 €.
   4. \(y(20)=-1{,}549\cdot20+19{,}305=-11{,}67\). Sale un precio negativo, que no es razonable: la recta solo sirve dentro del rango de los datos (1 a 8 años) o cerca de él.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(n=6\); \(\sum x=21\), \(\sum y=38{,}50\), \(\sum x^2=91\), \(\sum y^2=255{,}75\), \(\sum xy=122{,}50\). Medias: \(\bar x=3{,}500\), \(\bar y=6{,}417\). Varianzas: \(\sigma_x^2=2{,}917\) y \(\sigma_y^2=1{,}451\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=-2{,}042\). Desviaciones: \(\sigma_x=1{,}708\), \(\sigma_y=1{,}205\). Entonces \(r=-0{,}9923\).
    2. \(b=\dfrac{-2{,}042}{2{,}917}=-0{,}700\), \(a=8{,}867\). Recta: \(y=-0{,}700\,x+8{,}867\).
    3. \(y(4{,}5)=-0{,}700\cdot4{,}5+8{,}867=5{,}72\).
    4. No. La correlación mide la asociación, no la causa. Pueden existir otras variables (horas de sueño, ambiente de estudio) que influyan en ambas. Correlación no implica causalidad.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(n=6\); \(\sum x=1035\), \(\sum y=408\), \(\sum x^2=178975\), \(\sum y^2=28250\), \(\sum xy=70850\). Medias: \(\bar x=172{,}500\), \(\bar y=68\). Varianzas: \(\sigma_x^2=72{,}917\) y \(\sigma_y^2=84{,}333\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=78{,}333\). Desviaciones: \(\sigma_x=8{,}539\), \(\sigma_y=9{,}183\). Entonces \(r=0{,}9989\); \(b=1{,}074\) y \(a=-117{,}31\). Recta: \(y=1{,}074\,x-117{,}31\).
    2. \(y(178)=1{,}074\cdot178-117{,}31=73{,}9\) kg.
    3. Para estimar \(x\) habría que usar la recta de \(x\) sobre \(y\): \(b^{\prime}=0{,}9289\). \(x-172{,}50=0{,}9289\,(90-68)\) da \(x=192{,}9\) cm. No se puede despejar de la otra recta porque cada recta minimiza un error distinto. Además 90 kg está lejos de los datos: extrapolación.
    4. \(r^2=0{,}9979\): el 99,8 % de la variación del peso se explica por la altura.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(n=5\); \(\sum x=150\), \(\sum y=132\), \(\sum x^2=5500\), \(\sum y^2=4004\), \(\sum xy=4680\). Medias: \(\bar x=30\), \(\bar y=26{,}400\). Varianzas: \(\sigma_x^2=200\) y \(\sigma_y^2=103{,}840\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=144\). Desviaciones: \(\sigma_x=14{,}142\), \(\sigma_y=10{,}190\). Entonces \(b=0{,}720\), \(a=4{,}800\) y \(r=0{,}9992\).
    2. \(y(25)=0{,}720\cdot25+4{,}800=22{,}8\) kg. Está entre 10 y 50 kg: es interpolación y es fiable.
    3. \(y(100)=0{,}720\cdot100+4{,}800=76{,}8\) kg. Está muy fuera del rango (10 a 50): extrapolación, poco fiable.
    4. El modelo lineal solo describe la tendencia en el intervalo observado. Más allá, la relación puede cambiar: un exceso de abono daña las plantas y baja el rendimiento.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(n=6\); \(\sum x=430\), \(\sum y=5760\), \(\sum x^2=34050\), \(\sum y^2=5902600\), \(\sum xy=447500\). Medias: \(\bar x=71{,}67\), \(\bar y=960\). Varianzas: \(\sigma_x^2=538{,}89\) y \(\sigma_y^2=62166{,}67\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=5783{,}33\). Desviaciones: \(\sigma_x=23{,}21\), \(\sigma_y=249{,}33\). Entonces \(r=0{,}9992\): correlación positiva muy fuerte.
    2. \(b=10{,}73\) y \(a=190{,}88\). Recta: \(y=10{,}73\,x+190{,}88\). La pendiente indica que cada m² adicional encarece el alquiler en unos 10,7 € al mes.
    3. \(y(80)=10{,}73\cdot80+190{,}88=1049{,}4\) €.
    4. Residuo: \(1300-1049{,}4=250{,}6\) €. El piso es unos 251 € más caro de lo que predice el modelo (puede deberse a reforma, terraza o ubicación).

14. Solución del ejercicio 14

    1. Con 5 datos: \(r=0{,}9901\); \(b=2\) y \(a=-0{,}200\). Recta: \(y=2\,x-0{,}200\).
    2. Con 6 datos: \(r=0{,}2469\); \(b=0{,}457\) y \(a=3{,}400\). Recta: \(y=0{,}457\,x+3{,}400\).
    3. Un solo dato ha reducido \(r\) de 0,99 a 0,25 y ha bajado la pendiente de 2 a 0,46. Los coeficientes de la regresión son sensibles a los datos atípicos.
    4. Habría que investigar el dato: si se debe a una avería (circunstancia excepcional), lo razonable es retirarlo del análisis y explicarlo; si fuera un dato válido, habría que replantear el modelo.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Totales de filas: mujeres \(60+30+30=120\) y hombres \(30+30+20=80\). Totales de columnas: coche \(60+30=90\), transporte público \(30+30=60\), bicicleta o a pie \(30+20=50\). Total \(200\).
    2. \(\dfrac{60}{200}=0{,}30\).
    3. Entre quienes usan el coche (90): mujeres \(\dfrac{60}{90}=0{,}667\) y hombres \(\dfrac{30}{90}=0{,}333\).
    4. Mujeres (120): \(\dfrac{30}{120}=0{,}25\). Hombres (80): \(\dfrac{30}{80}=0{,}375\).
    5. Si fueran independientes, el porcentaje de usuarios de transporte público sería el mismo (30 %) en ambos grupos. Aquí es el 25 % en mujeres y el 37,5 % en hombres, y también hay diferencias en el coche (50 % de mujeres frente a 37,5 % de hombres). No parece haber independencia: hay cierta relación entre sexo y medio de transporte.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(n=6\); \(\sum x=660\), \(\sum y=40{,}10\), \(\sum x^2=79600\), \(\sum y^2=284{,}35\), \(\sum xy=4742\). Medias: \(\bar x=110\), \(\bar y=6{,}683\). Varianzas: \(\sigma_x^2=1166{,}667\) y \(\sigma_y^2=2{,}725\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=55{,}167\). Desviaciones: \(\sigma_x=34{,}157\), \(\sigma_y=1{,}651\). Entonces \(r=0{,}9785\).
    2. \(b=0{,}0473\) y \(a=1{,}482\). Recta: \(y=0{,}0473\,x+1{,}482\).
    3. \(y(110)=0{,}0473\cdot110+1{,}482=6{,}68\) L/100 km. La tabla entre 100 (5,9) y 120 (6,8) sugiere 6,35: la recta da un valor mayor porque los puntos intermedios quedan por debajo de ella (la nube se curva).
    4. Aunque \(r\) es alto, el consumo crece cada vez más deprisa (4,8 a 5,1 en el primer tramo y 8,0 a 9,5 en el último): la nube se curva hacia arriba y un modelo cuadrático o exponencial se ajustaría mejor.
    5. Estimado: \(y(130)=0{,}0473\cdot130+1{,}482=7{,}63\). Residuo: \(7{,}3-7{,}63=-0{,}33\) L/100 km.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(n=8\); \(\sum x=57\), \(\sum y=13080\), \(\sum x^2=589\), \(\sum y^2=22109200\), \(\sum xy=104670\). Medias: \(\bar x=7{,}12\), \(\bar y=1635\). Varianzas: \(\sigma_x^2=22{,}86\) y \(\sigma_y^2=90425\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=1434{,}38\). Desviaciones: \(\sigma_x=4{,}78\), \(\sigma_y=300{,}71\). Entonces \(r=0{,}9977\).
    2. \(b=62{,}75\) y \(a=1187{,}92\). Recta: \(y=62{,}75\,x+1187{,}92\). Cada año de experiencia supone, en media, unos 62,7 € más al mes.
    3. \(y(9)=62{,}75\cdot9+1187{,}92=1752{,}7\) €: interpolación, fiable. \(y(20)=62{,}75\cdot20+1187{,}92=2442{,}9\) €: está fuera del rango (0 a 15), extrapolación poco fiable.
    4. Estimado a 6 años: \(1564{,}4\) €. Residuo \(=1650-1564{,}4=85{,}6\) €: cobra unos 86 € más de lo que predice el modelo.
    5. \(r^2=0{,}9953\): la experiencia explica el 99,5 % de la variabilidad de los salarios.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(n=6\); \(\sum x=9100\), \(\sum y=1270\), \(\sum x^2=15170000\), \(\sum y^2=304900\), \(\sum xy=2148000\). Medias: \(\bar x=1516{,}7\), \(\bar y=211{,}7\). Varianzas: \(\sigma_x^2=228055{,}6\) y \(\sigma_y^2=6013{,}9\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=36972{,}2\). Desviaciones: \(\sigma_x=477{,}6\), \(\sigma_y=77{,}5\). Entonces \(r=0{,}9983\), muy próximo a 1: la nube está muy alineada.
    2. \(b=0{,}1621\) y \(a=-34{,}21\). Recta: \(y=0{,}1621\,x-34{,}21\).
    3. \(y(1500)=0{,}1621\cdot1500-34{,}21=209{,}0\) €.
    4. En el punto de medias: \(\dfrac{\bar y}{\bar x}=\dfrac{211{,}67}{1516{,}67}=0{,}1396\), es decir, el 14,0 %.
    5. Recta de \(x\) sobre \(y\): \(x-1516{,}67=6{,}148\,(y-211{,}67)\) con \(b^{\prime}=6{,}148\). Para \(y=300\): \(x=2060\) €.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(n=6\); \(\sum x=15\), \(\sum y=336\), \(\sum x^2=55\), \(\sum y^2=18922\), \(\sum xy=883\). Medias: \(\bar x=2{,}500\), \(\bar y=56\). Varianzas: \(\sigma_x^2=2{,}917\) y \(\sigma_y^2=17{,}667\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=7{,}167\). Desviaciones: \(\sigma_x=1{,}708\), \(\sigma_y=4{,}203\). Entonces \(b=2{,}457\) y \(a=49{,}857\). Recta: \(y=2{,}457\,x+49{,}857\).
    2. \(y(7)=2{,}457\cdot7+49{,}857=67{,}1\) mil habitantes. Está justo fuera del rango (0 a 5), es una extrapolación cercana: razonable.
    3. \(y(41)=150{,}6\) mil habitantes. Es una extrapolación a 36 años de distancia del último dato: poco fiable, porque la economía, la natalidad o las migraciones pueden cambiar la tendencia.
    4. \(r=0{,}9984\), casi 1. Pero \(r\) solo mide el ajuste dentro de los datos observados; no dice nada de lo que pasará fuera de ese rango.
    5. La pendiente es \(2{,}457\) mil habitantes por año, es decir, unos 2457 por año: es coherente con la afirmación del ayuntamiento (2,4 mil).

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(r\) no cambia: \(r=0{,}9815\) en ambos casos, porque es invariante frente a cambios lineales de escala con factor positivo.
    2. Pendiente inicial: \(1{,}700\). Con la nueva escala: \(17\), es decir, 10 veces mayor (porque \(y\) se ha multiplicado por 10).
    3. Pendientes: \(b=0{,}8\) y \(b^{\prime}=0{,}5\). \(r^2=b\,b^{\prime}=0{,}4\), luego \(r=0{,}632\) (positivo porque las pendientes lo son). Punto de medias: \(y=0{,}8x+2\) y \(x=0{,}5y+1\); sustituyendo, \(x=0{,}5(0{,}8x+2)+1=0{,}4x+2\), luego \(x=\dfrac{2}{0{,}6}=3{,}33\) e \(y=0{,}8\cdot3{,}33+2=4{,}67\).
    4. \(r^2=b\,b^{\prime}=(-1{,}2)(-0{,}3)=0{,}36\), luego \(|r|=0{,}6\). Como las pendientes son negativas, \(r=-0{,}6\).