Prüfungsvorbereitung ESA – Mathe Klasse 9 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Hauptnenner \(20\): \(\frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{23}{20}=1\frac3{20}\). Man erweitert beide Brüche auf den Hauptnenner 20 und addiert die Zähler; der unechte Bruch wird als gemischte Zahl geschrieben.
   b) Hauptnenner \(12\): \(\frac{10}{12}-\frac3{12}=\frac7{12}\). Der Hauptnenner von 6 und 4 ist 12; dann werden die Zähler subtrahiert.
   c) \(\frac{2\cdot9}{3\cdot10}=\frac{18}{30}=\frac35\). Beim Multiplizieren rechnet man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner; am Ende wird durch 6 gekürzt.
   d) \(\frac78\cdot\frac41=\frac{28}{8}=\frac72=3{,}5\). Man multipliziert mit dem Kehrbruch von \(\frac14\), also mit 4, und kürzt.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) \(\frac7{20}=0{,}35=35\,\%\); \(0{,}375=\frac38=37{,}5\,\%\); \(120\,\%=1{,}2=\frac65\); \(0{,}04=4\,\%=\frac1{25}\). Einen Bruch wandelt man in eine Dezimalzahl um, indem man den Zähler durch den Nenner teilt oder auf den Nenner 100 erweitert (\(\frac7{20}=\frac{35}{100}\)). Eine Dezimalzahl wird in Prozent umgerechnet, indem man mit 100 multipliziert. Umgekehrt schreibt man die Dezimalzahl als Bruch mit Nenner 10, 100 oder 1000 und kürzt vollständig, zum Beispiel \(0{,}375=\frac{375}{1000}=\frac38\).
   b) \(\frac38=0{,}375<0{,}4\). Also ist \(0{,}4\) größer. Zum Vergleichen schreibt man beide Zahlen als Dezimalzahl. Da 0,375 kleiner als 0,400 ist, ist 0,4 die größere Zahl. Antwort: \(0{,}4\) ist größer als \(\frac38\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) \(3+4\cdot6^2=3+4\cdot36=3+144=147\). Zuerst wird die Klammer berechnet, dann die Potenz, dann Punkt vor Strich.
   b) \((-3)\cdot(-4)+4=12+4=16\). Minus mal Minus ergibt Plus; die Division \(12:3\) wird vor der Addition ausgeführt.
   c) \(2\cdot(9-4)-7=10-7=3\). In der Klammer zuerst die Potenz \(3^2=9\), dann subtrahieren.
   d) \(-8+9=1\). Achtung: Bei \(-2^3\) wird nur die 2 potenziert, bei \((-3)^2\) die ganze Zahl \(-3\).

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(3x=21\), \(x=7\). Probe: \(21-7=14\). Man addiert 7 auf beiden Seiten und teilt dann durch 3.
   b) \(2x+6=5x-9\), \(15=3x\), \(x=5\). Probe: links \(16\), rechts \(16\). Man multipliziert die Klammer aus, sortiert die \(x\)-Terme auf eine Seite und teilt durch 3.
   c) \(\frac x4=5\), \(x=20\). Man subtrahiert 2 und multipliziert mit 4. Probe: \(5+2=7\).
   d) \(2(x+1)=3(x-1)\), \(2x+2=3x-3\), \(x=5\). Probe: \(2=2\). Man multipliziert beide Seiten mit dem Hauptnenner 6, damit die Brüche verschwinden.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) \(240\cdot0{,}15=36\) €. Prozentwert gleich Grundwert mal Prozentsatz als Dezimalzahl.
   b) \(\frac{18}{75}=24\,\%\). Prozentsatz gleich Prozentwert durch Grundwert. Antwort: 24 % der Schüler fehlen.
   c) \(G=\frac{45}{0{,}12}=375\). Grundwert gleich Prozentwert durch Prozentsatz. Antwort: Der Grundwert ist 375.
   d) Erhöhung \(12\) €; \(\frac{12}{80}=15\,\%\). Die Erhöhung bezieht sich auf den alten Preis als Grundwert.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(1\) Brötchen: \(0{,}35\) €; \(12\cdot0{,}35=4{,}20\) €. Die Größen sind proportional: Man teilt zuerst durch 5 (Preis für ein Brötchen) und multipliziert dann mit 12. Antwort: 12 Brötchen kosten 4,20 €.
   b) \(6{,}4\cdot3{,}5=22{,}4\) l; Kosten \(22{,}4\cdot1{,}85=41{,}44\) €. 350 km sind das 3,5-Fache von 100 km. Der Verbrauch wird mit 3,5 multipliziert und anschließend mit dem Literpreis. Antwort: 22,4 Liter Benzin für 41,44 €.
   c) Antiproportional: \(8\cdot6=48\) Arbeitstage; \(48:12=4\) Tage. Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit, die Größen sind also antiproportional. Man berechnet zuerst die gesamte Arbeit in Arbeitstagen und teilt sie dann durch die neue Zahl der Arbeiter. Antwort: 12 Arbeiter brauchen 4 Tage.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) \(89\cdot0{,}75=66{,}75\) €. 25 % weniger bedeutet, dass 75 % des Preises bezahlt werden.
   b) \(42\cdot1{,}19=49{,}98\) €. Zum Nettopreis kommen 19 % Mehrwertsteuer dazu, also Faktor 1,19.
   c) \(\frac{119}{1{,}19}=100\) €. Rückwärts teilt man den Bruttopreis durch 1,19 und erhält den Nettopreis.
   d) \(0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72\), also \(28\,\%\) Rabatt, nicht \(30\,\%\). Zwei Rabatte nacheinander werden multipliziert: 20 % und dann 10 % ergeben zusammen nur 28 %, weil der zweite Rabatt vom bereits reduzierten Preis abgezogen wird.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(2500\cdot0{,}03=75\) €. Zinsen gleich Kapital mal Zinssatz.
   b) \(2500\cdot1{,}03^2=2652{,}25\) €. Mit Zinseszins wird zweimal mit 1,03 multipliziert.
   c) \(\frac{36}{1200}=3\,\%\). Zinssatz gleich Zinsen durch Kapital.
   d) \(\frac{54}{0{,}015}=3600\) €. Kapital gleich Zinsen durch Zinssatz als Dezimalzahl.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(y(-2)=-7\), \(y(0)=-3\), \(y(1)=-1\), \(y(4)=5\). Man setzt jeden \(x\)-Wert ein: zum Beispiel \(2\cdot(-2)-3=-7\).
   b) \(m=\frac{11-3}{5-1}=2\); \(3=2\cdot1+b\), also \(b=1\). \(y=2x+1\). Die Steigung ist Höhenunterschied durch Längenunterschied; \(b\) erhält man durch Einsetzen eines Punktes.
   c) \(2\cdot10+1=21\): ja, \(P\) liegt darauf. Nullstelle: \(2x+1=0\), \(x=-0{,}5\). Für die Punktprobe setzt man \(x=10\) ein; für die Nullstelle setzt man \(y=0\).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) A: \(40\) min: \(13\) €; \(60\) min: \(15\) €; \(100\) min: \(19\) €. B immer \(15\) €. Man setzt die Minuten in den Term von Tarif A ein.
    b) \(9+0{,}1x=15\), \(0{,}1x=6\), \(x=60\) Minuten. Man setzt die beiden Kosten gleich und löst nach \(x\) auf.
    c) Wer weniger als \(60\) Minuten telefoniert, fährt mit A günstiger, ab \(60\) Minuten mit B. Bei genau 60 Minuten kosten beide Tarife 15 €.
    d) C: \(5+12=17\) €; A: \(19\) €. C ist \(2\) € billiger. Man berechnet die Kosten beider Tarife für die angegebene Minutenzahl und vergleicht.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(A=40+\frac12\pi\cdot2{,}5^2\approx40+9{,}82=49{,}82\,\mathrm{m}^2\). Die Fläche setzt sich aus Rechteck und halbem Kreis zusammen.
    b) \(U=8+8+5+\pi\cdot2{,}5\approx21+7{,}85=28{,}85\) m. Der Zaun läuft um drei Seiten des Rechtecks und den Halbkreisbogen \(\pi r\); die Seite am Halbkreis gehört nicht dazu.
    c) \(28{,}85\cdot12=346{,}20\) €. Zaunlänge mal Meterpreis.
    d) \(\frac{49{,}82}{25}\approx1{,}99\), also \(2\) Packungen. Man muss aufrunden, damit die Fläche ganz eingesät werden kann.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(V=\pi\cdot0{,}4^2\cdot0{,}9\approx0{,}452\,\mathrm{m}^3\approx452\) l. Zylindervolumen: Grundfläche mal Höhe; 1 m³ sind 1000 Liter.
    b) \(50\cdot12=600\) l. Man multipliziert die Dachfläche mit der Regenmenge pro m².
    c) \(\frac{600}{452}\approx1{,}33\): Die Tonne läuft einmal über, es bleiben \(148\) l. Die Regenmenge ist größer als das Volumen der Tonne.
    d) \(h=\frac{V}{G}=\frac{0{,}3}{\pi\cdot0{,}16}\approx0{,}60\) m. Man stellt die Volumenformel nach der Höhe um.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) \(\frac{260}{15}\approx17{,}3\) cm. Man teilt die Gesamthöhe in 260 cm durch die Anzahl der Stufen.
    b) \(\sqrt{2{,}6^2+3{,}4^2}=\sqrt{18{,}32}\approx4{,}28\) m. Höhe und Länge sind die Katheten, die Treppenlänge die Hypotenuse.
    c) \(a=\frac{340}{14}\approx24{,}3\) cm; \(2\cdot17{,}3+24{,}3=59{,}0\) cm: im erlaubten Bereich. Bei 15 Stufen gibt es 14 Auftritte; man prüft die Schrittmaßregel.
    d) \(\frac{2{,}6}{3{,}4}\approx76\,\%\). Die Steigung ist Höhe durch Länge.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(2+5+8+6+3+1=25\). Man addiert alle Anzahlen.
    b) \(\frac{1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+4\cdot6+5\cdot3+6\cdot1}{25}=\frac{81}{25}=3{,}24\). Jede Note wird mit ihrer Anzahl multipliziert; die Summe wird durch 25 geteilt.
    c) Median: \(13.\) Wert der sortierten Liste, das ist eine \(3\). Modus: \(3\) (am häufigsten). Spannweite: \(6-1=5\). Bei 25 Werten ist der 13. Wert der Median; der Modus ist die häufigste Note.
    d) \(6+3+1=10\) Schüler; \(\frac{10}{25}=40\,\%\). Man zählt die Noten 4 bis 6 und teilt durch 25.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Unterkunft: \(26\cdot19\cdot4=1976\) €; Verpflegung: \(26\cdot11\cdot5=1430\) €. Alle 26 Personen übernachten 4 Nächte und werden 5 Tage verpflegt.
    b) \(780+1976+1430=4186\) €. Man addiert alle Posten.
    c) \(\frac{4186}{24}\approx174{,}42\) €. Die Kosten werden nur auf die 24 Schüler verteilt. Antwort: Jeder Schüler zahlt etwa 174,42 €.
    d) \(4186\cdot0{,}85=3558{,}10\) €; pro Schüler \(\approx148{,}25\) €. Mit 15 % Zuschuss bleiben 85 % der Kosten.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(2\cdot(5+4)\cdot2{,}5=45{,}0\,\mathrm{m}^2\); \(45-5=40\,\mathrm{m}^2\). Die vier Wände bilden zusammen ein Rechteck aus Umfang mal Höhe; Tür und Fenster werden abgezogen.
    b) \(40\,\mathrm{m}^2\cdot2:8=10\) l, also \(2\) Eimer: \(2\cdot24{,}90=49{,}80\) €. Bei zwei Anstrichen verdoppelt sich die Fläche; man rundet auf ganze Eimer.
    c) Boden \(20\,\mathrm{m}^2\); mit Verschnitt \(20\cdot1{,}08=21{,}6\,\mathrm{m}^2\); \(\frac{21{,}6}{2{,}2}\approx9{,}8\), also \(10\) Pakete: \(10\cdot32=320\) €. Man rechnet 8 % Verschnitt dazu und rundet die Paketanzahl auf.
    d) \(49{,}80+320=369{,}80\) €. Antwort: Die Renovierung kostet insgesamt 369,80 €.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(s=18t\); \(s(3{,}5)=63\) km. Jonas fährt ab \(t=0\) mit 18 km/h.
    b) \(s=24(t-0{,}5)=24t-12\); \(s(3{,}5)=72\) km. Mia startet eine halbe Stunde später, deshalb steht \(t-0{,}5\) in der Klammer.
    c) \(18t=24t-12\), \(t=2\) h, \(s=36\) km (um \(11{,}00\) Uhr). Man setzt die beiden Wege gleich. Antwort: Um 11 Uhr holt Mia Jonas nach 36 km ein.
    d) \(t=\frac{63}{18}=3{,}5\) h. Man teilt die Strecke durch Jonas’ Geschwindigkeit.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(V=25\cdot10\cdot1{,}8=450\,\mathrm{m}^3\). Quadervolumen: Länge mal Breite mal Tiefe.
    b) \(\frac{450}{1{,}5}=300\) min \(=5\) h. Volumen geteilt durch Pumpleistung, dann in Stunden umrechnen.
    c) \(450\cdot3{,}40=1530\) €. Antwort: Die Füllung kostet 1530 €.
    d) \(25\cdot10\cdot0{,}003=0{,}75\,\mathrm{m}^3\); \(0{,}75\cdot3{,}40=2{,}55\) €. 3 mm sind 0,003 m; die verdunstete Wassermenge ist die Beckenfläche mal diese Höhe.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) \(\frac5{10}\cdot\frac49=\frac{20}{90}=\frac29\approx0{,}222\). Nach einer roten Kugel sind noch 4 rote unter 9 Kugeln.
    b) rot-rot \(\frac{20}{90}\), blau-blau \(\frac3{10}\cdot\frac29=\frac6{90}\), grün-grün \(\frac2{10}\cdot\frac19=\frac2{90}\); Summe \(\frac{28}{90}=\frac{14}{45}\approx0{,}311\). Gleiche Farbe bedeutet rot-rot, blau-blau oder grün-grün; man addiert die drei Pfade.
    c) Gegenereignis: keine blaue Kugel: \(\frac7{10}\cdot\frac69=\frac{42}{90}\); also \(1-\frac{42}{90}=\frac{48}{90}=\frac8{15}\approx0{,}533\). Mindestens eine blaue Kugel berechnet man über das Gegenereignis „keine blaue Kugel“.
    d) \(\frac5{10}\cdot\frac5{10}=0{,}25\), also \(25\,\%\). Mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten auf beiden Stufen gleich.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Sohn \(x\), Vater \(3x\): \(3x+12=2(x+12)\), \(x=12\). Sohn \(12\), Vater \(36\). Probe: in \(12\) Jahren \(48=2\cdot24\). Man drückt beide Alter durch \(x\) aus und stellt die Gleichung für die Zeit in 12 Jahren auf.
    b) Breite \(b\): \(2(b+b+5)=38\), \(4b+10=38\), \(b=7\), Länge \(12\) cm, Fläche \(7\cdot12=84\,\mathrm{cm}^2\). Der Umfang ist zweimal Länge plus Breite.
    c) \(x+y=47\), \(x-y=9\): \(2x=56\), \(x=28\), \(y=19\). Man addiert die beiden Gleichungen, damit \(y\) wegfällt.
    d) \(3{,}5+2{,}2x=14{,}5\), \(2{,}2x=11\), \(x=5\) km. Grundpreis plus Preis pro km mal Strecke ergibt den Gesamtpreis. Antwort: Die Fahrt war 5 km lang.