Dieser Lernzettel zum Thema Prüfungsvorbereitung ESA ist für Klasse 9 (Alter 14-15) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Typische Aufgaben zum Ersten Schulabschluss: Rechnen, Prozent, Gleichungen, Geometrie. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Wachstum und Zerfall und Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel und Baumdiagramm, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Prüfungsvorbereitung ESA Klasse 9 Lernzettel: das lernst du
Der Erste Schulabschluss (ESA), je nach Bundesland auch Hauptschulabschluss genannt, prüft grundlegende Kompetenzen. Dieses Kapitel fasst die wichtigsten Methoden zusammen und zeigt dir, wie du dich vorbereitest.
Einstieg: Die Prüfung rückt näher
Samira und Jonas bereiten sich auf die Prüfung zum Ersten allgemeinbildenden Schulabschluss (ESA) vor. Sie haben drei Wochen Zeit. Samira macht jeden Tag ein Thema, Jonas rechnet nur Aufgaben, die er schon kann. Wer ist besser vorbereitet? Der Plan von Samira ist klüger: Sie wiederholt Bruchrechnen, Prozent, Gleichungen, Funktionen, Geometrie und Zufall der Reihe nach, kontrolliert ihre Ergebnisse mit Überschlag und Probe und übt Textaufgaben. In diesem Kapitel findest du die wichtigsten Rechenverfahren der Klasse 9 in kompakter Form, dazu Aufgaben aus dem Alltag, wie sie in der Prüfung vorkommen, und Tipps zur Zeiteinteilung.
Was wird in der Prüfung verlangt?
Definition: Leitideen
Die Prüfung gliedert sich nach den Leitideen der Bildungsstandards: Zahl und Operation, Größen und Messen, Raum und Form, Strukturen und funktionaler Zusammenhang sowie Daten und Zufall.
Rechnen, Brüche und Prozent
Regel: Grundrechenarten
Punkt vor Strich, Klammern zuerst. Brüche addierst du nach dem Gleichnamigmachen, beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrbruch.
Beispiel 1: Rechnen
Berechne \(3{,}5\cdot4-2{,}8\), \((-12+5)\cdot3\), \(\frac12+\frac23\) und \(\frac34\) von 80.
\(3{,}5\cdot4-2{,}8=14-2{,}8=11{,}2\). \((-12+5)\cdot3=-21\).
\(\frac12+\frac23=\frac36+\frac46=\frac76\). \(80:4\cdot3=60\).
Satz: Prozentrechnung
Es gilt \(W=G\cdot\dfrac p{100}\) mit Grundwert \(G\), Prozentwert \(W\) und Prozentsatz \(p\). Bei Erhöhung um \(p\,\%\) rechnest du mit dem Faktor \(1+\frac p{100}\), bei Ermäßigung mit \(1-\frac p{100}\).
Beispiel 2: Prozent
Berechne 15 % von 240, den Grundwert, wenn 18 genau 12 % sind, und den Prozentsatz von 45 aus 180.
\(240\cdot0{,}15=36\).
\(G=\frac{18}{0{,}12}=150\). \(p=\frac{45}{180}=25\,\%\).
Dreisatz
Definition: Dreisatz
Beim Dreisatz schließt du von einer Größe auf die Einheit und von dort auf die gesuchte Größe. Er ist proportional (je mehr, desto mehr) oder antiproportional (je mehr, desto weniger).
So gehst du vor: Dreisatz
- Entscheide: je mehr, desto mehr (proportional) oder je mehr, desto weniger (antiproportional)?
- Rechne auf die Einheit zurück: proportional durch die Anzahl teilen, antiproportional das Produkt bilden.
- Rechne auf die gesuchte Anzahl hoch.
- Schreibe einen Antwortsatz.
Beispiel 3: Dreisatz
5 Hefte kosten 4,50 €. Wie viel kosten 8 Hefte? 4 Arbeiter brauchen 6 Tage. Wie lange brauchen 3 Arbeiter?
Proportional: 1 Heft \(=0{,}90\) €, 8 Hefte \(=7{,}20\) €.
Antiproportional: \(4\cdot6=24\) Arbeitertage, \(24:3=8\) Tage.
Terme und Gleichungen
Satz: Äquivalenzumformung
Eine Gleichung löst du, indem du auf beiden Seiten dasselbe tust. Löse Klammern zuerst auf.
Beispiel 4: Gleichung
Löse \(5x-4=2x+11\) und \(2(x-3)=14\).
\(-2x\): \(3x-4=11\), \(+4\): \(3x=15\), also \(x=5\).
\(2x-6=14\), also \(x=10\).
Beispiel 5: Textaufgabe
Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist 78.
\(x+(x+1)+(x+2)=78\), also \(3x=75\) und \(x=25\).
Die Zahlen sind 25, 26, 27.
Lineare Funktionen
Satz: Lineare Funktion
\(y=mx+b\): \(m\) ist die Steigung, \(b\) der y-Achsenabschnitt. Durch zwei Punkte gilt \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
Beispiel 6: Gerade durch zwei Punkte
Bestimme die Gerade durch \(A(1|2)\) und \(B(3|8)\) und die Nullstelle von \(y=2x-3\).
\(m=\frac{8-2}{3-1}=3\), \(2=3\cdot1+b\), also \(b=-1\) und \(y=3x-1\).
\(2x-3=0\) ergibt \(x=1{,}5\).
Flächen, Körper und Pythagoras
Regel: Formeln
- Rechteck \(A=a\cdot b\), \(U=2(a+b)\); Dreieck \(A=\frac12gh\); Trapez \(A=\frac{a+c}2h\); Kreis \(A=\pi r^2\), \(U=2\pi r\).
- Quader \(V=abc\); Zylinder \(V=\pi r^2h\), \(O=2\pi r^2+2\pi rh\).
- Pythagoras: \(a^2+b^2=c^2\).
Beispiel 7: Zylinder
Berechne Volumen und Oberfläche eines Zylinders mit \(r=3\) cm und \(h=10\) cm.
\(V=90\pi\approx282{,}74\) cm³, \(O=18\pi+60\pi=78\pi\approx245{,}04\) cm².
Beispiel 8: Leiter
Eine 6,5 m lange Leiter steht 2,5 m von der Wand. Wie hoch reicht sie?
\(\sqrt{6{,}5^2-2{,}5^2}=\sqrt{36}=6\) m.
Daten und Zufall
Beispiel 9: Kenngrößen
Daten: 4, 7, 7, 8, 9, 10, 12. Bestimme Mittelwert, Median, Modus und Spannweite. Wie wahrscheinlich ist bei 6 roten und 4 blauen Kugeln eine blaue?
Mittelwert \(\frac{57}7\approx8{,}14\), Median 8, Modus 7, Spannweite \(12-4=8\).
\(P(\text{blau})=\frac4{10}=0{,}4\).
Merke: Einheiten
\(1\,\text{km}=1000\,\text{m}\), \(1\,\text{h}=60\,\text{min}\), \(1\,\text{l}=1000\,\text{ml}\), \(1\,\text{kg}=1000\,\text{g}\), \(1\,\text{m}^2=10\,000\,\text{cm}^2\), \(1\,\text{m}^3=1000\,\text{l}\).
So gehst du vor: In der Prüfung arbeiten
- Lies die Aufgabe zweimal und markiere gegebene und gesuchte Größen.
- Zeichne Skizzen und schreibe die Formel auf.
- Rechne in Schritten und schreibe sie auf, so gibt es Teilpunkte.
- Prüfe das Ergebnis auf Sinn (negative Längen, unmögliche Prozentwerte).
- Schreibe einen Antwortsatz mit Einheit. Teile die Zeit ein und beginne mit den leichten Aufgaben.
Hinweis
Plane etwa vier Wochen vor der Prüfung. Woche 1: Zahlen, Brüche, Prozent, Dreisatz. Woche 2: Terme, Gleichungen, lineare Funktionen. Woche 3: Flächen, Körper, Pythagoras. Woche 4: Daten, Wahrscheinlichkeit und komplette Probearbeiten unter Prüfungsbedingungen. Führe eine Fehlerliste und übe täglich zwanzig Minuten, das bringt mehr als einmal drei Stunden.
Zinsen, Rabatt und Steuern
Aufgaben mit Geld kommen in jeder Prüfung vor. Mit dem Wachstumsfaktor \(q\) rechnest du schnell und fehlerfrei: Bei \(p\,\%\) Zunahme ist \(q=1+\frac p{100}\), bei \(p\,\%\) Abnahme \(q=1-\frac p{100}\). Nach mehreren Schritten multiplizierst du die Faktoren. Bei Zinsen wird das Kapital jedes Jahr mit \(q\) multipliziert: \(K_n=K_0\cdot q^n\).
Beispiel 10: Sparbuch
Anna legt \(1800\) € für \(3\) Jahre zu \(2{,}5\,\%\) Zinsen an. Wie viel hat sie dann?
\(q=1{,}025\). \(K_3=1800\cdot1{,}025^3=1800\cdot1{,}0769\approx1938{,}40\) €. Die Zinsen betragen \(138{,}40\) €.
Einheiten und Größen umrechnen
Viele Fehler entstehen bei Einheiten. Merke: Bei Längen wechselt man mit \(10\) oder \(1000\), bei Flächen mit \(100\) und bei Rauminhalten mit \(1000\). Es gilt \(1\,\mathrm{m}^2=10\,000\,\mathrm{cm}^2\), \(1\,\mathrm{m}^3=1000\) l und \(1\) l \(=1\,\mathrm{dm}^3\). Für Geschwindigkeiten gilt \(1\) m/s \(=3{,}6\) km/h. Schreibe immer die Einheit mit, sie ist eine Kontrolle.
Beispiel 11: Einheiten
Ein Aquarium ist \(80\) cm lang, \(40\) cm breit und \(50\) cm hoch. Wie viele Liter passen hinein?
\(V=80\cdot40\cdot50=160\,000\,\mathrm{cm}^3=160\,\mathrm{dm}^3=160\) l.
Diagramme und Daten lesen
In der Prüfung musst du Tabellen und Diagramme auswerten. Du bestimmst Mittelwert (alle Werte addieren, durch die Anzahl teilen), Median (Mitte der sortierten Liste) und Spannweite (größter minus kleinster Wert). Beim Lesen von Säulen- und Liniendiagrammen achtest du auf die Achsenbeschriftung und darauf, ob die Achse bei null beginnt. Ein abgeschnittenes Diagramm kann Unterschiede übertreiben.
Beispiel 12: Mittelwert und Median
Fünf Schüler brauchen für den Schulweg \(6, 8, 10, 12, 24\) Minuten. Bestimme Mittelwert und Median.
Mittelwert: \(\frac{60}{5}=12\) min. Median: \(10\) min. Der Ausreißer \(24\) zieht den Mittelwert nach oben, der Median bleibt stabil.
So arbeitest du in der Prüfung
Lies zuerst alle Aufgaben durch und beginne mit denen, die du sicher kannst. Teile die Zeit ein: Pro Punkt etwa eine Minute. Schreibe immer den Rechenweg auf, denn auch bei einem Folgefehler gibt es Teilpunkte. Mache einen Überschlag, um grobe Fehler zu entdecken: Kann ein Brötchen \(35\) € kosten? Ist die Hypotenuse kürzer als eine Kathete? Setze am Ende einen Antwortsatz mit Einheit.
Wusstest du?
Wer vor einer Prüfung ausreichend schläft und zwischendurch Pausen macht, merkt sich Neues deutlich besser. Wiederholen in Abständen (nach einem Tag, einer Woche, einem Monat) schlägt das Lernen in einer Nacht. Das haben Forscher in vielen Studien gezeigt.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Bruchrechnen: Hauptnenner beim Addieren und Subtrahieren, Kehrbruch beim Dividieren.
- Prozent: \(W=G\cdot\frac p{100}\); Wachstumsfaktor \(q=1\pm\frac p{100}\).
- Dreisatz: erst die Einheit bestimmen, dann prüfen, ob proportional oder antiproportional.
- Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen und die Probe machen.
- Lineare Funktion \(y=mx+b\): Steigung \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), Achsenabschnitt \(b\).
- Flächen und Körper: Rechteck, Dreieck, Kreis, Prisma, Zylinder; Einheiten umrechnen.
- Satz des Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\) für Strecken im rechtwinkligen Dreieck.
- Daten und Zufall: Mittelwert, Median, Baumdiagramm, Pfadregeln.
Achtung
Typische Fehler sind Vorzeichenfehler beim Umformen, vertauschte Grundwerte und Prozentwerte, nicht umgerechnete Einheiten, Radius und Durchmesser verwechselt und fehlende Antwortsätze mit Einheit.
Zum Einstieg: So bereitest du dich vor
Die Prüfung zum Ersten Schulabschluss verbindet Aufgaben aus allen Bereichen: Zahlen und Terme, Prozent und Zinsen, Funktionen, Geometrie sowie Daten und Zufall. Plane deine Vorbereitung über mehrere Wochen. Bearbeite pro Tag eine kleine Auswahl gemischter Aufgaben, statt am Ende alles auf einmal zu wiederholen. Notiere dir Aufgaben, bei denen du unsicher warst, und rechne sie nach einigen Tagen noch einmal. So erkennst du deine Lücken rechtzeitig.
Beispiel 13
Ein Fahrradhändler kauft ein Rad für 320 € ein und schlägt 40 % auf. Später gibt er auf den Verkaufspreis 15 % Rabatt. Wie viel Gewinn macht er?
Der Aufschlag von 40 % bedeutet den Faktor 1,4. Der Verkaufspreis beträgt also \(320\cdot1{,}4=448\) €. Ein Rabatt von 15 % bedeutet den Faktor 0,85, damit kostet das Rad \(448\cdot0{,}85=380{,}80\) €. Der Gewinn ist die Differenz zum Einkaufspreis: \(380{,}80-320=60{,}80\) €. Antwort: Der Händler macht 60,80 € Gewinn. Beachte: 40 % Aufschlag und 15 % Rabatt sind nicht einfach 25 % Aufschlag, denn \(1{,}4\cdot0{,}85=1{,}19\), es sind also nur 19 %.
So gehst du in der Prüfung vor
- Lies zuerst alle Aufgaben durch und beginne mit denen, die dir leichtfallen.
- Unterstreiche bei Textaufgaben die gegebenen Größen und die Frage.
- Fertige bei Geometrieaufgaben immer eine Skizze an.
- Schreibe jeden Rechenweg auf, auch Zwischenergebnisse bringen Punkte.
- Prüfe am Ende, ob alle Antwortsätze und Einheiten vorhanden sind.
Häufige Fehler in der Prüfung
Viele Punkte gehen durch kleine Ungenauigkeiten verloren. Achte darauf, Einheiten vor dem Rechnen umzuwandeln, zum Beispiel Zentimeter in Meter oder Minuten in Stunden. Runde erst am Ende und nicht bei jedem Zwischenschritt. Bei Prozentaufgaben musst du genau prüfen, welcher Wert der Grundwert ist. Und bei Wahrscheinlichkeiten ohne Zurücklegen ändern sich die Nenner auf der zweiten Stufe.
Ottos Tipp
Übe mit alten Prüfungsaufgaben deines Bundeslandes und stelle dir dabei eine Stoppuhr. Beginne mit den Themen, die du sicher beherrschst, und arbeite dann die Schwächen ab. Lege dir eine Formelkarte an. Am Tag vor der Prüfung wiederholst du nur noch, du lernst nichts Neues.
So nutzt du den Lernzettel Prüfungsvorbereitung ESA (Klasse 9)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Prüfungsvorbereitung ESA und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Prüfungsvorbereitung ESA und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Prüfungsvorbereitung ESA (Klasse 9) alles, was du für das Thema brauchst.
Zusammenfassend gilt: Regelmäßiges Üben hilft mehr als eine lange Sitzung. Zum Beispiel reichen oft zehn Minuten am Tag. Außerdem sind Fehler nützlich, denn sie zeigen, was du wiederholen solltest. Sobald ein Verfahren leicht wirkt, versuchst du danach eine schwerere Aufgabe. Dadurch wächst dein Selbstvertrauen Schritt für Schritt.
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