Lineare Funktionen – Mathe Klasse 8 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) \(f\): \(2\cdot(-2)-3=-7\), \(-3\), \(-1\), \(5\). \(g\): \(-0{,}5\cdot(-2)+4=5\), \(4\), \(3{,}5\), \(2\).
   b) \(f\) steigt (\(m=2>0\)), \(g\) fällt (\(m=-0{,}5<0\)). Man sieht es an den Werten: \(f\) wird größer, \(g\) kleiner.

   Die Funktionswerte erhält man durch Einsetzen der \(x\)-Werte; negative Zahlen setzt man in Klammern. Ob eine lineare Funktion steigt oder fällt, entscheidet allein das Vorzeichen der Steigung \(m\), nicht der Achsenabschnitt.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) \(m=3\), \(b=2\); \(S_y(0|2)\).
   b) \(m=-1\), \(b=5\); \(S_y(0|5)\).
   c) \(m=0{,}5\), \(b=-4\); \(S_y(0|-4)\).
   d) \(m=-2\), \(b=0\); \(S_y(0|0)\): die Gerade geht durch den Ursprung.

   In der Normalform \(y=mx+b\) steht die Steigung als Faktor vor \(x\) und der Achsenabschnitt als einzelne Zahl. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat immer die Form \((0|b)\), denn für \(x=0\) bleibt nur \(b\) übrig. Fehlt \(b\), geht die Gerade durch den Ursprung.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) Start \((0|-1)\), dann \(1\) nach rechts und \(2\) nach oben: \((1|1)\), \((2|3)\).
   b) Start \((0|3)\), dann \(2\) nach rechts und \(1\) nach unten: \((2|2)\), \((4|1)\).
   c) Start \((0|0)\), \(1\) nach rechts und \(1\) nach oben: \((1|1)\), \((2|2)\). Die Gerade halbiert den ersten Quadranten.

   Beim Zeichnen beginnt man immer im Punkt \((0|b)\). Eine Steigung als Bruch \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) bedeutet: \(\Delta x\) Schritte nach rechts und \(\Delta y\) Schritte nach oben, bei negativem \(\Delta y\) nach unten. Mehrere Steigungsdreiecke hintereinander machen die Zeichnung genauer.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(m=\frac{9-3}{4-1}=2\); \(3=2\cdot1+b\), \(b=1\): \(y=2x+1\). Probe: \(2\cdot4+1=9\).
   b) \(m=\frac{6+3}{2+1}=3\); \(6=3\cdot2+b\), \(b=0\): \(y=3x\). Probe: \(3\cdot(-1)=-3\).
   c) \(m=\frac{1-5}{4-0}=-1\); \(b=5\): \(y=-x+5\). Probe: \(-4+5=1\).
   d) \(m=\frac{6-4}{6-2}=0{,}5\); \(4=0{,}5\cdot2+b\), \(b=3\): \(y=0{,}5x+3\). Probe: \(3+3=6\).

   Das Vorgehen ist immer gleich: Steigung aus der Differenz der \(y\)-Werte durch die Differenz der \(x\)-Werte, dann einen Punkt einsetzen und nach \(b\) auflösen. Die Probe mit dem zweiten Punkt zeigt, ob die Gleichung stimmt.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) \(2x=6\), \(x=3\): \(N(3|0)\).
   b) \(0{,}5x=4\), \(x=8\): \(N(8|0)\).
   c) \(4x=-2\), \(x=-0{,}5\): \(N(-0{,}5|0)\).
   d) Die Gerade ist waagerecht (\(m=0\)) und hat keine Nullstelle.

   Die Nullstelle ist der \(x\)-Wert, bei dem der Funktionswert null ist. Man setzt deshalb \(mx+b=0\) und löst nach \(x\) auf. Eine waagerechte Gerade \(y=c\) mit \(c\neq0\) schneidet die x-Achse nie.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(-2\cdot3+5=-1\): wahr, \(P\) liegt auf der Geraden.
   b) \(-2\cdot2+5=1\neq2\): \(Q\) liegt nicht darauf.
   c) \(-2\cdot(-1)+5=7\): wahr, \(R\) liegt darauf.
   d) \(-2a+5=1\), also \(a=2\).

   Bei der Punktprobe setzt man den \(x\)-Wert ein und vergleicht das Ergebnis mit dem \(y\)-Wert des Punktes. Stimmen beide überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Bei d) wird der \(y\)-Wert vorgegeben und die Gleichung nach \(a\) gelöst.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Ja: gleiche Steigung \(m=2\), verschiedene Achsenabschnitte (\(3\neq-1\)).
   b) \(x+1=-2x+7\), also \(3x=6\), \(x=2\) und \(y=3\): \(S(2|3)\).
   c) \(m=3\); \(8=3\cdot2+b\), \(b=2\): \(y=3x+2\).

   Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, aber verschiedene Achsenabschnitte. Den Schnittpunkt zweier Geraden findet man durch Gleichsetzen der Funktionsterme; den \(y\)-Wert erhält man durch Einsetzen in eine der beiden Gleichungen.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(K(x)=2{,}1x+3{,}9\).
   b) \(K(5)=10{,}5+3{,}9=14{,}40\,€\); \(K(10)=21+3{,}9=24{,}90\,€\).
   c) \(2{,}1x+3{,}9=30\), also \(x=\frac{26{,}1}{2{,}1}\approx12{,}4\) km.
   d) \(m=2{,}10\) ist der Preis pro Kilometer, \(b=3{,}90\) die Grundgebühr (Preis bei \(0\) km).

   Antwort: Eine 10-km-Fahrt kostet 24,90 €, für 30 € kommt man gut 12 km weit. Die Grundgebühr ist der Achsenabschnitt, weil sie auch bei 0 km fällig ist, der Kilometerpreis ist die Steigung.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(K_A(x)=5+0{,}04x\), \(K_B(x)=0{,}10x\).
   b) \(5+0{,}04x=0{,}10x\), also \(5=0{,}06x\) und \(x=83{,}3\) Minuten.
   c) \(60\) min: A \(7{,}40\,€\), B \(6{,}00\,€\): B ist günstiger. \(120\) min: A \(9{,}80\,€\), B \(12{,}00\,€\): A ist günstiger.
   d) Wer weniger als etwa \(83\) Minuten im Monat telefoniert, fährt mit B besser; Vieltelefonierer wählen A.

   Antwort: Bei etwa 83 Minuten kosten beide Tarife gleich viel, nämlich rund 8,33 €. Darunter ist B günstiger, darüber A. Grafisch ist das der Schnittpunkt der beiden Geraden.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) \(h(t)=24-2t\).
    b) \(24-10=14\) cm.
    c) \(24-2t=10\), \(t=7\) Stunden.
    d) \(24-2t=0\), \(t=12\) Stunden: Dann ist die Kerze abgebrannt. Sinnvoll ist \(0\le t\le12\).

    Die Steigung ist negativ, weil die Kerze kürzer wird; der Achsenabschnitt ist die Anfangslänge. Antwort: Nach 5 Stunden ist die Kerze 14 cm hoch, nach 7 Stunden 10 cm, nach 12 Stunden ist sie abgebrannt.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(L(w)=40+8w\), \(T(w)=12w\).
    b) \(40+8w=280\), also \(w=30\) Wochen.
    c) \(40+8w=12w\), \(w=10\) Wochen, jeweils \(120\,€\).
    d) Lena \(280\,€\), Tim \(360\,€\): Tim hat mehr.

    Antwort: Lena kann sich das Fahrrad nach 30 Wochen kaufen. Tim holt seinen Rückstand auf, weil er pro Woche 4 € mehr spart; nach 10 Wochen haben beide 120 €, danach liegt Tim vorn.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(32\), \(1{,}8\cdot20+32=68{,}0\), \(1{,}8\cdot37+32=98{,}6\) Grad Fahrenheit.
    b) \(1{,}8C+32=95\), \(C=\frac{63}{1{,}8}=35\,^\circ\)C.
    c) \(1{,}8C=-32\), \(C\approx-17{,}8\,^\circ\)C.
    d) \(1{,}8C+32=C\), also \(0{,}8C=-32\) und \(C=-40\): bei \(-40^\circ\) stimmen beide Skalen überein.

    Die Umrechnung ist eine lineare Funktion mit der Steigung 1,8 und dem Achsenabschnitt 32. Antwort: \(37\,^\circ\)C entsprechen 98,6 °F, \(95\,^\circ\)F entsprechen \(35\,^\circ\)C, und bei \(-40\) Grad zeigen beide Skalen dieselbe Zahl.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) \(m=0{,}06\).
    b) \(45:0{,}06=750\) cm, also \(7{,}5\) m.
    c) Nein, \(6\) m reichen nicht. Steigung: \(\frac{45}{600}=7{,}5\,\%\), das ist zu steil.
    d) \(h(x)=0{,}06x\).

    Eine Steigung in Prozent gibt an, wie viele Zentimeter Höhe auf 100 cm waagerechte Länge kommen. Antwort: Für 45 cm Höhe braucht die Rampe mindestens 7,5 m Länge; 6 m reichen nicht, weil die Rampe dann 7,5 % steil wäre.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) T1 linear (immer \(+3\)), T2 nicht (\(+1\), \(+2\), \(+4\)), T3 linear (immer \(-2\)).
    b) T1: \(y=3x+4\); T3: \(y=-2x+10\).
    c) Die Änderungen \(+1,+2,+4\) sind nicht gleich: Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden (Verdopplung ist exponentiell).
    d) T3: Die \(y\)-Werte werden kleiner, \(m=-2<0\).

    Eine Tabelle mit gleichen Abständen der \(x\)-Werte gehört genau dann zu einer linearen Funktion, wenn die \(y\)-Werte sich immer um denselben Betrag ändern. Dieser Betrag ist die Steigung, der Wert bei \(x=0\) der Achsenabschnitt.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) \(K_A(x)=3x+4\), \(K_B(x)=5x\), \(K_C(x)=12\).
    b) A: \(7;10;13;19\). B: \(5;10;15;25\). C: immer \(12\) (in Euro).
    c) A=B: \(3x+4=5x\), \(x=2\). B=C: \(5x=12\), \(x=2{,}4\). A=C: \(3x+4=12\), \(x=\frac83\approx2{,}67\).
    d) Bis \(2\) Stunden ist B am günstigsten, von \(2\) bis \(\frac83\) Stunden A, danach C.
    e) A: \(3\cdot2{,}5+4=11{,}50\,€\); B: \(12{,}50\,€\); C: \(12\,€\). A ist am günstigsten mit \(11{,}50\,€\).

    Antwort: Für 2,5 Stunden ist Verleiher A mit 11,50 € am günstigsten. Die Schnittstellen der Geraden teilen die Zeitachse in Bereiche, in denen jeweils ein anderer Verleiher am billigsten ist.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(s_T=4t\); \(s_L=6(t-0{,}5)=6t-3\).
    b) Lisa: \(3\); \(6\cdot1{,}5-3=6\); \(6\cdot2-3=9\) (in km).
    c) \(4t=6t-3\), also \(t=1{,}5\) Stunden, das ist um \(10{:}30\) Uhr bei \(s=6\) km.
    d) Tim: \(t=\frac{12}{4}=3\) h. Lisa: \(6t-3=12\), \(t=2{,}5\) h. Lisa ist \(0{,}5\) h \(=30\) Minuten früher am Ziel.

    Lisas Funktion ist um eine halbe Stunde nach rechts verschoben, deshalb steht \(t-0{,}5\) in der Klammer. Antwort: Lisa holt Tim um 10:30 Uhr nach 6 km ein und erreicht das Ziel eine halbe Stunde vor ihm.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(F(t)=3000-25t\).
    b) \(3000-500=2500\); \(3000-1000=2000\); \(3000-1500=1500\) Liter.
    c) \(3000-25t=0\), \(t=120\) Tage.
    d) \(3000-25t=500\), \(t=100\) Tage.
    e) \(90\cdot25=2250\) l, Kosten \(2250\cdot0{,}95=2137{,}50\,€\).

    Die Steigung ist der tägliche Verbrauch mit negativem Vorzeichen, der Achsenabschnitt der volle Tank. Antwort: Nach 100 Tagen muss nachbestellt werden, nach 120 Tagen wäre der Tank leer; 90 Tage kosten 2137,50 €.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(T(x)=18-0{,}6x\).
    b) \(18-5{,}4=12{,}6\,^\circ\)C; \(18-10{,}8=7{,}2\,^\circ\)C.
    c) \(18-0{,}6x=0\), \(x=30\), also \(3\,000\) m über der Talstation.
    d) \(m=-0{,}6\): Die Temperatur sinkt um \(0{,}6^\circ\)C pro \(100\) m. \(b=18\): Temperatur an der Talstation.
    e) \(x=35\): \(18-0{,}6\cdot35=-3{,}0\,^\circ\)C. Es herrscht also Frost, Schnee ist wahrscheinlich.

    Antwort: Die Nullgradgrenze liegt 3000 m über der Talstation, und auf einem 3,5 km höheren Gipfel herrschen etwa \(-3\,^\circ\)C. Das Modell gilt nur näherungsweise, weil die Temperatur auch vom Wetter abhängt.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) \(m=-2\); \(-4=-2\cdot3+b\), \(b=2\): \(y=-2x+2\).
    b) \(S_y(0|2)\); Nullstelle: \(-2x+2=0\), \(x=1\): \(N(1|0)\).
    c) \(A=\frac12\cdot1\cdot2=1\) Flächeneinheit.
    d) \(-2\cdot5+2=-8\): ja, \(Q\) liegt auf \(g\).

    Die Parallele übernimmt die Steigung \(-2\), der Achsenabschnitt wird mit dem Punkt \(P\) bestimmt. Das Dreieck mit den Achsen ist rechtwinklig, seine Katheten sind die Abstände der Achsenschnittpunkte vom Ursprung.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(0{,}5x+2=-x+8\), \(1{,}5x=6\), \(x=4\), \(y=4\): \(S(4|4)\).
    b) \(g\): \((0|2)\); \(h\): \((0|8)\).
    c) Grundseite auf der y-Achse \(8-2=6\), Höhe \(=x_S=4\): \(A=\frac12\cdot6\cdot4=12\).
    d) \(g\) liegt über \(h\) für \(x>4\) (rechts vom Schnittpunkt).

    Antwort: Das Dreieck hat den Flächeninhalt 12. Die Grundseite liegt auf der y-Achse zwischen den beiden Achsenabschnitten, die Höhe ist der waagerechte Abstand des Schnittpunkts von der y-Achse.