Kreis: Umfang und Fläche – Mathe Klasse 8 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) \(U=2\pi\cdot7=43{,}98\) cm (2 P.).
   b) \(A=\pi\cdot49=153{,}94\,\mathrm{cm}^2\) (2 P.).

   Für den Umfang verwendet man \(U=2\pi r\), für die Fläche \(A=\pi r^2\), jeweils mit \(r=7\) cm. Die Fläche hat die Einheit \(\mathrm{cm}^2\). Antwort: Der Kreis hat einen Umfang von etwa 44 cm und eine Fläche von etwa 154 cm².

   Überschlag mit \(\pi\approx3\): Umfang etwa 42 cm, Fläche etwa 147 cm². Die genauen Werte liegen etwas darüber, das passt.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) \(\pi\cdot0{,}6^2=1{,}13\,\mathrm{m}^2\) (1 P.).
   b) \(\pi\cdot1{,}2=3{,}77\) m (1 P.).
   c) Holz \(1{,}13\cdot45=50{,}85\,€\); Kante \(3{,}77\cdot8=30{,}16\,€\); zusammen \(81{,}01\,€\) (2 P.).

   Der Radius ist der halbe Durchmesser, also 0,6 m. Die Fläche bestimmt die Holzkosten, der Umfang die Kosten der Kante. Antwort: Die Tischplatte kostet insgesamt rund 81 €.

   Bewertung: Wer für die Fläche den Durchmesser einsetzt, erhält etwa 4,52 m² und damit das Vierfache; dann gibt es für a) keinen Punkt.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) \(\pi(100-36)=64\pi=201{,}06\,\mathrm{cm}^2\) (2 P.).
   b) \(\frac{64}{100}=64\,\%\) (2 P.).

   Die Fläche des Kreisrings ist die Differenz aus großer und kleiner Kreisfläche. Für den Anteil kürzt sich \(\pi\) heraus, es bleibt \(\frac{100-36}{100}\). Antwort: Der Ring macht 64 % des großen Kreises aus.

   Bewertung: Wer \(\pi(10-6)^2\) rechnet, erhält nur \(16\pi\) und keinen Punkt für a). Richtig ist die Differenz der Quadrate, nicht das Quadrat der Differenz.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) \(\frac14\pi\cdot25=19{,}63\,\mathrm{m}^2\) (2 P.).
   b) \(\frac{19{,}63}{300}\approx6{,}5\,\%\) (1 P.).
   c) \(19{,}63\cdot4\approx78{,}5\) Liter (2 P.).

   Ein Sektor von \(90^\circ\) ist ein Viertelkreis. Die Wiese hat \(20\cdot15=300\,\mathrm{m}^2\). Antwort: Der Sprenger bewässert knapp 20 m², also nur einen kleinen Teil der Wiese, und verbraucht dabei rund 78,5 Liter.

   Bewertung: Für c) zählt der Ansatz „Fläche mal Liter pro Quadratmeter“ einen Punkt, das Ergebnis den zweiten.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) \(r=\sqrt{\frac{78{,}5}{\pi}}\approx5{,}0\) cm (2 P.).
   b) \(U=2\pi\cdot5\approx31{,}4\) cm (1 P.).

   Aus \(A=\pi r^2\) folgt \(r=\sqrt{\frac A\pi}\). Mit dem gefundenen Radius berechnet man anschließend den Umfang. Probe: \(\pi\cdot5^2\approx78{,}5\).

   Überschlag: Mit \(\pi\approx3\) wäre \(r^2\approx26\) und \(r\approx5\), das bestätigt das Ergebnis. Bewertung: Wer vergisst, die Wurzel zu ziehen, erhält \(r\approx25\) und bekommt keinen Punkt für a). Der Umfang wird mit dem gerundeten Radius 5 cm berechnet.

Gesamt : 20 Punkte