Terme aufstellen und umformen – Mathe Klasse 7 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Man setzt jede Zahl für \(x\) ein und rechnet nach der Regel Punkt vor Strich. Für \(x=0\): \(3\cdot0+5=5\). Für \(x=4\): \(3\cdot4+5=12+5=17\). Für \(x=-2\): \(3\cdot(-2)+5=-6+5=-1\).

   b) Negative Zahlen setzt man in Klammern ein: \((-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\). Für \(x=3\): \(3^2-4\cdot3=9-12=-3\).

   c) \(12-2\cdot0=12\), \(12-2\cdot5=2\), \(12-2\cdot10=-8\).

   Antwort: Die Termwerte sind 5, 17, −1; 5, −3; 12, 2, −8.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Beim Übersetzen achtest du auf die Signalwörter: „das Dreifache“ bedeutet Multiplizieren mit 3, „vermindert um“ bedeutet Subtrahieren, „die Hälfte“ bedeutet Teilen durch 2.

   a) Erst das Dreifache, dann minus 7: \(3x-7\).

   b) Das Doppelte von \(y\) ist \(2y\), dazu kommt \(x\): \(x+2y\).

   c) \(\frac{a}{2}+4\).

   d) Bei einer Differenz steht die zuerst genannte Zahl vorn: \(10-5z\).

   e) Die Summe muss in Klammern stehen, weil das Vierfache der ganzen Summe gemeint ist: \(4(a+3)\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Gleichartige Glieder (gleiche Variable) werden zusammengefasst, indem man ihre Koeffizienten addiert. Reine Zahlen fasst man getrennt zusammen.

   a) \((6x+2x)+(-4y+9y)=8x+5y\).

   b) \((5a-2a)+(3-8)=3a-5\).

   c) \((7m-2m)+(-3n-n)=5m-4n\). Beachte: \(-n\) bedeutet \(-1n\).

   d) \((2a-5a)+(3b+b)-4=-3a+4b-4\).

   Antwort: \(8x+5y\); \(3a-5\); \(5m-4n\); \(-3a+4b-4\). Weiter lassen sich die Terme nicht vereinfachen, weil keine gleichartigen Glieder mehr übrig sind.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Nach dem Distributivgesetz wird der Faktor vor der Klammer mit jedem Glied in der Klammer multipliziert.

   a) \(3\cdot x+3\cdot4=3x+12\).

   b) \(5\cdot2a-5\cdot3=10a-15\).

   c) Der Faktor ist negativ: \((-2)\cdot x+(-2)\cdot(-6)=-2x+12\), denn Minus mal Minus ergibt Plus.

   d) \(x\cdot x+x\cdot5=x^2+5x\).

   Antwort: \(3x+12\); \(10a-15\); \(-2x+12\); \(x^2+5x\). Probe zum Beispiel bei a) mit \(x=1\): \(3\cdot5=15\) und \(3+12=15\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Man sucht den größten gemeinsamen Faktor aller Glieder, schreibt ihn vor die Klammer und teilt jedes Glied durch ihn.

   a) ggT von 6 und 9 ist 3: \(6x+9=3(2x+3)\). Probe: \(3\cdot2x+3\cdot3=6x+9\).

   b) ggT von 8 und 12 ist 4: \(4(2a-3b)\).

   c) Gemeinsam sind die Zahl 5 und ein \(x\): \(5x(x+2)\). Probe: \(5x^2+10x\).

   d) ggT von 14 und 21 ist 7: \(7(2-3y)\).

   Antwort: \(3(2x+3)\), \(4(2a-3b)\), \(5x(x+2)\), \(7(2-3y)\).

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Zuerst werden alle Klammern aufgelöst, danach fasst man gleichartige Glieder zusammen.

   a) \(2x+6+3x-3=5x+3\).

   b) Vor der zweiten Klammer steht \(-3\), also ändern sich beide Vorzeichen: \(8a-4-3a-6=5a-10\).

   c) Minus vor der Klammer: \(5-x+4=9-x\).

   d) \(3x-2x-10=x-10\).

   Antwort: \(5x+3\); \(5a-10\); \(9-x\); \(x-10\). Probe bei c) mit \(x=1\): \(5-(1-4)=8\) und \(9-1=8\). Der vereinfachte Term stimmt.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Jede der \(x\) Personen zahlt \(8{,}50\,€\): Kosten der Karten \(8{,}5x\).

   b) Pro Person kommen \(4{,}20\,€\) für Popcorn dazu: \(8{,}5x+4{,}2x=12{,}7x\). Eine Person kostet also insgesamt \(12{,}70\,€\).

   c) Für \(x=5\): \(12{,}7\cdot5=63{,}50\,€\).

   d) Bei \(10\,\%\) Rabatt zahlt man nur noch \(90\,\%\), also den Faktor \(0{,}9\): \(0{,}9\cdot12{,}7x=11{,}43x\). Für \(x=5\): \(11{,}43\cdot5=57{,}15\,€\).

   Antwort: Fünf Personen zahlen ohne Rabatt \(63{,}50\,€\) und mit Rabatt \(57{,}15\,€\).

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Das feste Taschengeld beträgt 12 €. Für \(g\) Gartenarbeiten kommen \(2g\) Euro dazu, für \(e\) Einkäufe \(3e\) Euro. Term: \(12+2g+3e\).

   b) \(12+2\cdot3+3\cdot4=12+6+12=30\,€\).

   c) \(12+2\cdot5+3\cdot0=22\,€\).

   d) Vom Einkommen werden 15 € abgezogen: \(12+2g+3e-15=2g+3e-3\). Für \(g=4\), \(e=3\): \(8+9-3=14\,€\).

   Antwort: Mia verdient im Fall b) 30 €, im Fall c) 22 € und behält im Fall d) noch 14 € übrig.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) Ein Rechteck hat zwei Längen und zwei Breiten: \(U=2a+2b\).

   b) Man setzt \(a=x+3\) und \(b=x\) ein: \(U=2(x+3)+2x=2x+6+2x=4x+6\).

   c) Fläche = Länge mal Breite: \(A=x(x+3)=x^2+3x\).

   d) Für \(x=5\): \(U=4\cdot5+6=26\,\mathrm{m}\) und \(A=5^2+3\cdot5=25+15=40\,\mathrm{m}^2\). Kontrolle: Das Feld ist \(8\,\mathrm{m}\) lang und \(5\,\mathrm{m}\) breit, \(8\cdot5=40\).

   Antwort: Umfang \(26\,\mathrm{m}\), Fläche \(40\,\mathrm{m}^2\).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Einnahmen = Preis mal Anzahl für jede Ware: \(2{,}5k+1{,}2l\).

    b) Vom Erlös wird die Standgebühr abgezogen: Gewinn \(2{,}5k+1{,}2l-35\).

    c) Für \(k=60\), \(l=80\): \(2{,}5\cdot60+1{,}2\cdot80-35=150+96-35=211\,€\).

    d) Wenn zu jedem Kuchen ein Glas verkauft wird, gilt \(l=k\). Dann ist der Einnahmenterm \(2{,}5k+1{,}2k=3{,}7k\), weil die Glieder gleichartig sind.

    Antwort: Der Gewinn beträgt \(211{,}00\,€\); der vereinfachte Einnahmenterm lautet \(3{,}7k\).

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Die Kosten bestehen aus drei Teilen: die feste Anfahrt (25 €), der Lohn \(48h\) für \(h\) Stunden und das Material \(m\). Also \(K=25+48h+m\).

    b) \(K=25+48\cdot2{,}5+37{,}5=25+120+37{,}5=182{,}50\,€\).

    c) Mit Mehrwertsteuer zahlt man \(119\,\%\), also das \(1{,}19\)-Fache des Nettobetrags: \(B=1{,}19(25+48h+m)\). Für Teil b): \(1{,}19\cdot182{,}5=217{,}175\approx217{,}18\,€\).

    Antwort: Netto kostet der Auftrag \(182{,}50\,€\), brutto rund \(217{,}18\,€\).

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Von Spalte zu Spalte kommen jeweils 3 Hölzer dazu: Für 4 Quadrate braucht man \(10+3=13\), für 5 Quadrate \(13+3=16\) Hölzer.

    b) Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer; jedes weitere Quadrat teilt sich eine Seite mit dem Nachbarn und braucht nur 3 neue Hölzer. Also \(4+3(n-1)=4+3n-3=3n+1\). Probe: \(n=3\) ergibt \(10\).

    c) \(3\cdot12+1=37\) Hölzer.

    d) \(3n+1=100\) ergibt \(3n=99\), also \(n=33\).

    Antwort: Mit 100 Hölzern legt man genau 33 Quadrate.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Beide Teile sind Rechtecke mit der Breite 4 m. Gemüsebereich: \(4\cdot x=4x\). Blumenbereich: \(4\cdot6=24\,\mathrm{m}^2\).

    b) Erster Weg: Summe der Teilflächen \(4x+24\). Zweiter Weg: Das ganze Beet ist \(x+6\) lang, also \(4(x+6)\). Multipliziert man aus, erhält man \(4x+24\). Die Terme sind gleich (Distributivgesetz).

    c) Für \(x=9\): \(4\cdot9+24=60\,\mathrm{m}^2\).

    d) \(4x+24=60\) führt zu \(4x=36\) und \(x=9\).

    Antwort: Das Gemüsebeet ist dann \(9\,\mathrm{m}\) lang.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) An drei Tagen läuft Lara je \(a\) km, das sind \(3a\). Dazu kommt der lange Lauf \(2a+1\). Wochenstrecke: \(3a+2a+1=5a+1\).

    b) Für \(a=4\): \(5\cdot4+1=21\) km. Für \(a=3\): \(5\cdot3+1=16\) km.

    c) Ben: \(4b+\frac{b}{2}=4b+0{,}5b=4{,}5b\).

    d) Für \(a=b=4\) läuft Lara 21 km, Ben \(4{,}5\cdot4=18\) km.

    Antwort: Lara läuft 3 km mehr als Ben.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Grundgebühren: \(3\cdot9=27\,€\). Datenpakete für zwei Personen: \(2\cdot4=8\,€\). Minutenpreis für alle Minuten: \(0{,}06(m_1+m_2+m_3)\). Zusammen: \(35+0{,}06(m_1+m_2+m_3)\).

    b) \(120+200+80=400\) Minuten, also \(0{,}06\cdot400=24\,€\). Gesamt: \(35+24=59{,}00\,€\).

    c) Mit \(m_1=m_2=m_3=m\): \(35+0{,}06\cdot3m=35+0{,}18m\).

    d) Nur die Grundgebühr wird um 10 % gesenkt: \(0{,}9\cdot27=24{,}3\). Neuer Term: \(24{,}3+8+0{,}06(m_1+m_2+m_3)=32{,}3+0{,}06(m_1+m_2+m_3)\).

    Antwort: Im Fall b) zahlt die Familie \(59{,}00\,€\).

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Einnahmen: \(2{,}5k+3w+1{,}5g\).

    b) Kosten: Einkauf \(0{,}8k+1{,}2w+0{,}5g\) plus Standgebühr, also \(0{,}8k+1{,}2w+0{,}5g+40\).

    c) Gewinn = Einnahmen minus Kosten. Man subtrahiert jeweils die gleichartigen Glieder: \((2{,}5-0{,}8)k+(3-1{,}2)w+(1{,}5-0{,}5)g-40=1{,}7k+1{,}8w+g-40\).

    d) \(1{,}7\cdot60+1{,}8\cdot80+150-40=102+144+150-40=356\,€\).

    e) Mit Spenden: \(356+25=381\,€\). Jedes Getränk bringt genau \(1\,€\) Gewinn, also wären 25 Getränke mehr nötig gewesen.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Umfang: \(U=2\cdot3+2(2x+1)=6+4x+2=4x+8\). Fläche: \(A=3(2x+1)=6x+3\).

    b) Platten kosten \(35\,€\) je m², Randsteine \(12\,€\) je m: \(K=35(6x+3)+12(4x+8)=210x+105+48x+96=258x+201\).

    c) Für \(x=4\): \(A=27\,\mathrm{m}^2\), \(U=24\,\mathrm{m}\), \(K=258\cdot4+201=1233\,€\).

    d) \(258x+201\le1500\) ergibt \(258x\le1299\), also \(x\le5{,}03\). Für die ganze Zahl \(x=5\) ist die Terrasse \(2\cdot5+1=11\,\mathrm{m}\) lang und kostet \(258\cdot5+201=1491\,€\).

    Antwort: \(x\) darf höchstens etwa 5 sein; die Terrasse ist dann 11 m lang.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Man setzt jeden Wert in alle drei Terme ein. \(x=-1\): 4, 4, 1. \(x=0\): 6, 6, 3. \(x=2\): 10, 10, 7. \(x=5\): 16, 16, 13.

    b) \(2(x+3)\) und \(2x+6\) sind äquivalent, denn Ausmultiplizieren ergibt \(2x+6\). Der Term \(2x+3\) ist immer um 3 kleiner. Lena hat also recht.

    c) Gegenbeispiel \(x=0\): \(2(0+3)=6\), aber \(2\cdot0+3=3\). Ein einziges Gegenbeispiel genügt.

    d) \(3(x+4)-3x=3x+12-3x=12\). Die Variable fällt weg.

    Antwort: Der Term hat für jedes \(x\) den Wert 12.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Bus: 450 € fest. Übernachtungen: 3 Nächte zu 24 € für \(n\) Personen, also \(72n\). Eintritte: \(8n\). Gesamt: \(450+72n+8n=450+80n\).

    b) Für \(n=28\): \(450+80\cdot28=450+2240=2690\,€\).

    c) Die Gesamtkosten werden durch \(n\) geteilt: \(\frac{450+80n}{n}=\frac{450}{n}+80\). Für \(n=28\): \(\frac{450}{28}+80\approx16{,}07+80=96{,}07\,€\).

    d) Jede weitere Person erhöht die Gesamtkosten um den Koeffizienten von \(n\), also um 80 €.

    Antwort: Die Reise kostet 2690 €, pro Person etwa 96,07 €.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Man übersetzt jeden Schritt: verdoppeln \(2x\), plus 10: \(2x+10\), halbieren: \(\frac{2x+10}{2}=x+5\), minus \(x\): \(x+5-x=5\). Die Variable fällt weg, deshalb kommt bei jeder Startzahl 5 heraus.

    b) Drei aufeinanderfolgende Zahlen sind \(n\), \(n+1\), \(n+2\). Summe: \(3n+3=3(n+1)\). Der Faktor 3 zeigt, dass die Summe durch 3 teilbar ist.

    c) Links \((3+2)^2=25\), rechts \(9+12+4=25\). Damit: \(51^2=50^2+2\cdot50\cdot1+1^2=2500+100+1=2601\).