Flächeninhalt und Umfang – Mathe Klasse 5 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Formeln: Rechteck \(U=2\cdot(a+b)\), \(A=a\cdot b\); Quadrat \(U=4\cdot a\), \(A=a\cdot a\).
   a) \(U=2\cdot(8+5)=2\cdot13=26\,\mathrm{cm}\); \(A=8\cdot5=40\,\mathrm{cm}^2\).
   b) \(U=4\cdot7=28\,\mathrm{cm}\); \(A=7\cdot7=49\,\mathrm{cm}^2\).
   c) \(U=2\cdot(12+9)=2\cdot21=42\,\mathrm{m}\); \(A=12\cdot9=108\,\mathrm{m}^2\).
   d) \(U=4\cdot15=60\,\mathrm{cm}\); \(A=15\cdot15=225\,\mathrm{cm}^2\).
   Achte auf die Einheiten: Der Umfang ist eine Länge (cm, m), der Flächeninhalt eine Fläche (\(\mathrm{cm}^2\), \(\mathrm{m}^2\)).

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Wir stellen die Formeln um und rechnen rückwärts.
   a) Aus \(A=a\cdot b\) folgt \(b=A:a=72:9=8\,\mathrm{cm}\). Dann \(U=2\cdot(9+8)=34\,\mathrm{cm}\).
   b) Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich: \(a=36:4=9\,\mathrm{cm}\). Fläche \(A=9\cdot9=81\,\mathrm{cm}^2\).
   c) Der halbe Umfang ist \(a+b=30:2=15\,\mathrm{cm}\). Also \(b=15-11=4\,\mathrm{cm}\) und \(A=11\cdot4=44\,\mathrm{cm}^2\).
   d) Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 64 ergibt: \(8\cdot8=64\), also \(a=8\,\mathrm{m}\). Umfang \(U=4\cdot8=32\,\mathrm{m}\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Bei Flächeneinheiten ist die Umrechnungszahl 100 (nicht 10 wie bei Längen). In die kleinere Einheit wird multipliziert, in die größere dividiert.
   a) \(\mathrm{m}^2\) zu \(\mathrm{cm}^2\) sind zwei Schritte: \(3\cdot100\cdot100=30\,000\,\mathrm{cm}^2\).
   b) \(\mathrm{dm}^2\) zu \(\mathrm{m}^2\): \(450:100=4{,}5\,\mathrm{m}^2\).
   c) \(2\cdot10\,000=20\,000\,\mathrm{m}^2\).
   d) \(7500:10\,000=0{,}75\,\mathrm{ha}\), also drei Viertel Hektar.
   e) \(5\cdot100=500\,\mathrm{mm}^2\).

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) Großes Rechteck: \(10\cdot8=80\,\mathrm{cm}^2\). Ausgeschnittenes Stück: \(4\cdot3=12\,\mathrm{cm}^2\).
   b) L-Figur: \(80-12=68\,\mathrm{cm}^2\).
   c) Wir gehen einmal um die Figur herum: \(10+8+6+3+4+5=36\,\mathrm{cm}\). Das große Rechteck hat ebenfalls \(2\cdot(10+8)=36\,\mathrm{cm}\). Die eingeknickte Ecke verschiebt die Randstücke nur nach innen, ihre Längen bleiben gleich.
   d) Oberes Rechteck \(6\cdot3=18\,\mathrm{cm}^2\), unteres Rechteck \(10\cdot5=50\,\mathrm{cm}^2\). Zusammen \(68\,\mathrm{cm}^2\). Beide Wege ergeben dasselbe.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) Fläche = Länge mal Breite: \(11\cdot1=11\), \(10\cdot2=20\), \(9\cdot3=27\), \(8\cdot4=32\), \(7\cdot5=35\), \(6\cdot6=36\) (alle in \(\mathrm{cm}^2\)).
   b) Die größte Fläche hat das Rechteck mit \(a=b=6\,\mathrm{cm}\), also das Quadrat, mit \(36\,\mathrm{cm}^2\). Je ähnlicher die Seiten sind, desto größer wird die Fläche.
   c) Der Umfang ist \(U=2\cdot(a+b)=24\,\mathrm{cm}\). Teilt man durch 2, erhält man \(a+b=12\,\mathrm{cm}\). Die Summe einer Länge und einer Breite ist immer der halbe Umfang.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(U=2\cdot(4+3)=14\,\mathrm{cm}\); \(A=4\cdot3=12\,\mathrm{cm}^2\).
   b) Neue Seiten 8 cm und 6 cm: \(U=2\cdot(8+6)=28\,\mathrm{cm}\); \(A=8\cdot6=48\,\mathrm{cm}^2\).
   c) \(48:12=4\). Das alte Rechteck passt viermal hinein: zwei nebeneinander und zwei übereinander. Der Umfang verdoppelt sich, die Fläche vervierfacht sich, weil beide Faktoren verdoppelt werden (\(2\cdot2=4\)).
   d) Seiten 12 cm und 9 cm: \(U=42\,\mathrm{cm}\), dreimal so groß; \(A=108\,\mathrm{cm}^2\), neunmal so groß (\(3\cdot3=9\)).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Der Rahmen ist auf jeder Seite 3 cm breit, also kommen zu jeder Kante \(2\cdot3=6\,\mathrm{cm}\) dazu: \(30+6=36\,\mathrm{cm}\) breit und \(40+6=46\,\mathrm{cm}\) hoch.
   b) Mit Rahmen \(36\cdot46=1656\,\mathrm{cm}^2\), Bild allein \(30\cdot40=1200\,\mathrm{cm}^2\). Rahmenfläche: \(1656-1200=456\,\mathrm{cm}^2\).
   c) Äußerer Rand: \(2\cdot(36+46)=164\,\mathrm{cm}=1{,}64\,\mathrm{m}\). Kosten \(1{,}64\cdot2{,}50=4{,}10\) €.
   d) \(456:10=45{,}6\,\mathrm{ml}\) Lack.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Fläche: \(4{,}5\cdot3{,}6=16{,}2\,\mathrm{m}^2\).
   b) Kosten: \(16{,}2\cdot28=453{,}60\) €.
   c) Mit 10 % Verschnitt: \(16{,}2\cdot1{,}1=17{,}82\,\mathrm{m}^2\). Kosten \(17{,}82\cdot28=498{,}96\) €.
   d) Umfang \(2\cdot(4{,}5+3{,}6)=2\cdot8{,}1=16{,}2\,\mathrm{m}\). Ohne die Tür: \(16{,}2-0{,}9=15{,}3\,\mathrm{m}\) Leiste.
   Antwort: Das Zimmer hat \(16{,}2\,\mathrm{m}^2\); mit Verschnitt kostet das Parkett 498,96 €, und man braucht 15,3 m Leiste.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(A=105\cdot68=7140\,\mathrm{m}^2\). Da \(1\,\mathrm{ha}=10\,000\,\mathrm{m}^2\), sind das \(0{,}714\,\mathrm{ha}\), also knapp drei Viertel Hektar.
   b) \(U=2\cdot(105+68)=2\cdot173=346\,\mathrm{m}\).
   c) Fünf Runden: \(5\cdot346=1730\,\mathrm{m}=1{,}73\,\mathrm{km}\).
   d) \(7140:350=20{,}4\,\mathrm{h}\). \(0{,}4\,\mathrm{h}=0{,}4\cdot60=24\,\mathrm{min}\), also braucht der Roboter 20 h 24 min.
   Antwort: \(7140\,\mathrm{m}^2\), 346 m Umfang, 1,73 km Laufstrecke, gut 20 Stunden Mähzeit.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Der Zaun läuft an drei Seiten: zwei kurze Seiten und eine lange Seite. \(12+12+18=42\,\mathrm{m}\).
    b) Kosten: \(42\cdot24=1008\) €.
    c) Das Tor ersetzt 3 m Zaun: \(42-3=39\,\mathrm{m}\) Zaun kosten \(39\cdot24=936\) €. Mit dem Tor: \(936+180=1116\) €. Das Tor macht den Zaun also um 108 € teurer.
    d) Gartenfläche: \(18\cdot12=216\,\mathrm{m}^2\).
    Antwort: 42 m Zaun für 1008 €, mit Tor 1116 €; der Garten hat \(216\,\mathrm{m}^2\).

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Bodenfläche: \(25\cdot12=300\,\mathrm{m}^2\).
    b) 1 m = 100 cm. Auf einer Seite von 1 m liegen \(100:20=5\) Fliesen, auf einem Quadratmeter also \(5\cdot5=25\) Fliesen. Kontrolle: Eine Fliese hat \(400\,\mathrm{cm}^2\), und \(10\,000:400=25\).
    c) \(300\cdot25=7500\) Fliesen.
    d) Kosten: \(7500\cdot0{,}80=6000\) €.
    Antwort: Für den Boden braucht man 7500 Fliesen für 6000 €.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Wand: \(5\cdot2{,}5=12{,}5\,\mathrm{m}^2\).
    b) Fenster \(1{,}2\cdot1{,}4=1{,}68\,\mathrm{m}^2\); Tür \(0{,}9\cdot2=1{,}8\,\mathrm{m}^2\).
    c) Fenster und Tür werden nicht gestrichen: \(12{,}5-1{,}68-1{,}8=9{,}02\,\mathrm{m}^2\).
    d) \(9{,}02:6\approx1{,}5\) Liter. Da man nur ganze Liter kauft und 1 Liter nicht reicht, braucht man 2 Liter Farbe.
    Antwort: Zu streichen sind \(9{,}02\,\mathrm{m}^2\); dafür kauft man 2 Liter Farbe.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Blech: \(40\cdot30=1200\,\mathrm{cm}^2\).
    b) Ein Stück: \(5\cdot5=25\,\mathrm{cm}^2\).
    c) Erste Rechnung über die Fläche: \(1200:25=48\) Stücke. Zweite Rechnung über die Seiten: In der Länge passen \(40:5=8\) Stücke, in der Breite \(30:5=6\) Stücke, zusammen \(8\cdot6=48\) Stücke.
    d) Es sind \(26+2=28\) Personen. Jede bekommt ein Stück, dann bleiben \(48-28=20\) Stücke übrig. Der Kuchen reicht also gut, sogar für ein zweites Stück für 20 Personen.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Grundstück \(30\cdot20=600\,\mathrm{m}^2\); Haus \(12\cdot9=108\,\mathrm{m}^2\); Terrasse \(6\cdot4=24\,\mathrm{m}^2\).
    b) Rasen: \(600-108-24=468\,\mathrm{m}^2\).
    c) Zaun: \(2\cdot(30+20)=100\,\mathrm{m}\).
    d) Zaun \(100\cdot18=1800\) €; Rasensaat \(468\cdot0{,}60=280{,}80\) €; Terrassenplatten \(24\cdot35=840\) €. Zusammen \(2920{,}80\) €.
    e) Halbe Rasenfläche \(468:2=234\,\mathrm{m}^2\). Saat \(234\cdot0{,}60=140{,}40\) €, Pflaster \(234\cdot40=9360\) €, zusammen \(9500{,}40\) €. Gegenüber \(280{,}80\) € für Saat auf der ganzen Fläche sind das \(9500{,}40-280{,}80=9219{,}60\) € Mehrkosten.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Bodenfläche: \(9\cdot7=63\,\mathrm{m}^2\).
    b) Linoleum: \(63\cdot32=2016\) €.
    c) Umfang: \(2\cdot(9+7)=32\,\mathrm{m}\). An den zwei Türen fehlt je 1 m Leiste: \(32-2=30\,\mathrm{m}\).
    d) Leiste: \(30\cdot4{,}50=135\) €. Gesamt: \(2016+135=2151\) €.
    Antwort: Der neue Boden mit Leiste kostet 2151 €. Für die Fläche nutzt man \(A=a\cdot b\), für die Leiste den Umfang.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Schulhof: \(40\cdot25=1000\,\mathrm{m}^2\). Beet: \(10\cdot6=60\,\mathrm{m}^2\).
    b) Zu pflastern: \(1000-60=940\,\mathrm{m}^2\).
    c) Eine Platte ist 50 cm, also 0,5 m breit. Auf 1 m passen 2 Platten nebeneinander, auf einen Quadratmeter \(2\cdot2=4\) Platten.
    d) \(940\cdot4=3760\) Platten. Kosten: \(3760\cdot2=7520\) €.
    Antwort: Für \(940\,\mathrm{m}^2\) braucht man 3760 Platten zum Preis von 7520 €.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Umfang: \(2\cdot(24+16)=80\,\mathrm{m}\). Der Eingang bleibt offen: \(80-2=78\,\mathrm{m}\) Zaun.
    b) Gesamtfläche: \(24\cdot16=384\,\mathrm{m}^2\).
    c) Sandkasten \(6\cdot4=24\,\mathrm{m}^2\), Kies \(8\cdot5=40\,\mathrm{m}^2\), zusammen \(64\,\mathrm{m}^2\).
    d) Rasen: \(384-64=320\,\mathrm{m}^2\). Bruchteil: \(\frac{320}{384}\); wir kürzen mit 64 und erhalten \(\frac56\).
    Antwort: 78 m Zaun; fünf Sechstel des Spielplatzes sind Rasen.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) 1 m = 100 cm: \(6\,\mathrm{m}=600\,\mathrm{cm}\) und \(4{,}5\,\mathrm{m}=450\,\mathrm{cm}\).
    b) Die Plattenkante muss in beide Seiten genau hineinpassen, sie muss also ein gemeinsamer Teiler von 600 und 450 sein. Der größte gemeinsame Teiler ist 150, denn \(600=4\cdot150\) und \(450=3\cdot150\), und 4 und 3 haben keinen gemeinsamen Teiler mehr.
    c) In der Länge \(600:150=4\) Platten, in der Breite \(450:150=3\) Platten, insgesamt \(4\cdot3=12\) Platten.
    d) Kosten: \(12\cdot48=576\) €.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Wohnzimmer \(5\cdot4=20\,\mathrm{m}^2\); Schlafzimmer \(4\cdot3=12\,\mathrm{m}^2\); Kinderzimmer \(3{,}5\cdot3=10{,}5\,\mathrm{m}^2\); Küche \(3\cdot3=9\,\mathrm{m}^2\); Bad \(2{,}5\cdot2=5\,\mathrm{m}^2\).
    b) Gesamtfläche: \(20+12+10{,}5+9+5=56{,}5\,\mathrm{m}^2\).
    c) Monatsmiete: \(56{,}5\cdot9{,}50=536{,}75\) €.
    d) Teppich im Kinderzimmer: \(10{,}5\cdot24=252\) €.
    Antwort: Die Wohnung hat \(56{,}5\,\mathrm{m}^2\), kostet 536,75 € Miete im Monat, und der Teppich kostet 252 €.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Der Zaun ist der Umfang: \(2\cdot(a+b)=20\), also \(a+b=10\). Mit \(a=7\,\mathrm{m}\) ist \(b=3\,\mathrm{m}\). Fläche \(A=7\cdot3=21\,\mathrm{m}^2\).
    b) Mit \(b=10-a\): \(a=1\): \(1\cdot9=9\); \(a=2\): \(16\); \(a=3\): \(21\); \(a=4\): \(24\); \(a=5\): \(25\); \(a=6\): \(24\); \(a=7\): \(21\); \(a=8\): \(16\); \(a=9\): \(9\) (in \(\mathrm{m}^2\)).
    c) Die größte Fläche von \(25\,\mathrm{m}^2\) erhält man mit 5 m mal 5 m. Das ist ein Quadrat. Bei gleichem Umfang hat das Quadrat von allen Rechtecken die größte Fläche.

21. Lösung zu Aufgabe 21

    a) Aus der Tabelle: Seite 1 cm ergibt Umfang 4 cm, Seite 2 cm ergibt 8 cm; Seite 2 cm ergibt 8 cm, Seite 4 cm ergibt 16 cm. Wird die Seite verdoppelt, verdoppelt sich auch der Umfang, weil \(U=4\cdot a\).
    b) Die Fläche wird viermal so groß. Beispiel 1: Seite \(1\to2\), Fläche \(1\to4\). Beispiel 2: Seite \(2\to4\), Fläche \(4\to16\), und \(16=4\cdot4\). Grund: Beide Faktoren in \(a\cdot a\) werden verdoppelt.
    c) Gesucht ist \(4\cdot a=a\cdot a\). Das gilt für \(a=4\): \(U=16\) und \(A=16\). Nur die Maßzahlen stimmen überein, die Einheiten (cm und \(\mathrm{cm}^2\)) sind verschieden.