Achsensymmetrie und Spiegelung – Mathe Klasse 5 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Buchstaben

Welche Buchstaben haben eine Symmetrieachse?

Senkrechte Achsen haben A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Waagerechte Achsen haben B, C, D, E, H, I, K, O, X. H, I, O und X haben beide. Keine Achse haben F, G, J, L, N, P, Q, R, S und Z.

Beispiel 2: Abstand zur Achse

\(P\) hat von der Achse 3 cm Abstand. Wo liegt \(P'\) und wie lang ist \([PP']\)?

\(P'\) liegt ebenfalls 3 cm von der Achse entfernt, auf der anderen Seite. Also gilt \(|PP'|=6\ \text{cm}\).

Beispiel 3: Auf Kästchenpapier

\(P\) liegt 5 Kästchen links der Achse und 3 Kästchen über der Rasterlinie. Wo liegt \(P'\)?

\(P'\) liegt 5 Kästchen rechts der Achse, ebenfalls 3 Kästchen über der Rasterlinie. Die Strecke \([PP']\) ist waagerecht und \(2\cdot5=10\) Kästchen lang.

Beispiel 4: Dreieck spiegeln

Das Dreieck \(ABC\) hat \(A\) auf der Achse, \(B\) 2 Kästchen und \(C\) 4 Kästchen links der Achse. Spiegle es.

\(A\) bleibt liegen, \(B'\) liegt 2 Kästchen rechts, \(C'\) liegt 4 Kästchen rechts der Achse. Das Dreieck \(A'B'C'\) hat dieselben Seitenlängen wie \(ABC\).

Beispiel 5: Wort spiegeln

Das Wort „MAMA“ wird an einer senkrechten Linie rechts davon gespiegelt. Was entsteht?

Jeder Buchstabe ist senkrecht symmetrisch und bleibt gleich. Die Reihenfolge kehrt sich um: Man liest „AMAM“.

Beispiel 6: Drachenviereck

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Drachenviereck?

Genau eine: die Diagonale, die die beiden Spitzen verbindet. Sie halbiert die andere Diagonale und steht senkrecht auf ihr.

Beispiel 7: Spiegeln am Gitter

Die Achse ist die senkrechte Linie bei \(x=3\). Spiegle den Punkt \(P(1|4)\) und das Dreieck mit \(A(0|1)\), \(B(2|1)\), \(C(1|2)\).

Der Punkt \(P\) ist \(2\) Einheiten von der Achse entfernt (\(3-1=2\)), sein Bildpunkt liegt \(2\) Einheiten rechts der Achse: \(P'(5|4)\). Für das Dreieck: \(A'(6|1)\), \(B'(4|1)\), \(C'(5|2)\). Die \(y\)-Werte ändern sich nicht, die \(x\)-Werte spiegeln um die Achse \(x=3\). Man erkennt die Regel: Neuer \(x\)-Wert \(=2\cdot3-\) alter \(x\)-Wert.

Beispiel 8: Symmetrieachsen eines Rechtecks

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Rechteck mit den Seiten \(6\,\mathrm{cm}\) und \(4\,\mathrm{cm}\)? Warum sind die Diagonalen keine Achsen?

Ein Rechteck hat zwei Achsen: die Mittellinie parallel zur langen Seite und die Mittellinie parallel zur kurzen Seite. Klappt man das Rechteck an einer Diagonale, passen die Hälften nicht aufeinander, denn die Seiten haben unterschiedliche Längen (\(6\neq4\)). Nur beim Quadrat sind auch die Diagonalen Achsen, deshalb hat das Quadrat vier Achsen.

Beispiel 9: Achsen finden mit dem Spiegelversuch

Prüfe, ob der Buchstabe \(\mathrm{E}\) achsensymmetrisch ist.

Man hält einen kleinen Spiegel senkrecht an die waagerechte Mittellinie des \(\mathrm{E}\): Das Bild zusammen mit der unteren Hälfte ergibt wieder ein \(\mathrm{E}\). Also ist \(\mathrm{E}\) achsensymmetrisch mit einer waagerechten Achse. Eine senkrechte Achse gibt es nicht, denn die linke und die rechte Hälfte des \(\mathrm{E}\) sehen verschieden aus.

Beispiel 10: Symmetrie im Alltag erkennen

Welche Gegenstände im Klassenzimmer sind achsensymmetrisch?

Die Tür ist achsensymmetrisch, wenn man sie von vorn betrachtet, mit einer senkrechten Achse in der Mitte. Eine Schere ist es nicht, weil Griff und Klinge verschieden aussehen. Ein Stuhl von vorn gesehen hat eine senkrechte Achse, von der Seite gesehen keine. Eine Figur ist also manchmal nur aus einer bestimmten Richtung achsensymmetrisch.

Beispiel 11: Eine Figur Schritt für Schritt spiegeln

Spiegle das Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C an einer senkrechten Achse auf Kästchenpapier.

Du beginnst mit dem Punkt A und zählst, wie viele Kästchen er von der Achse entfernt ist. Dann zählst du auf der anderen Seite genauso viele Kästchen in derselben Zeile ab und markierst den Bildpunkt. Dasselbe machst du mit B und C. Zum Schluss verbindest du die Bildpunkte in derselben Reihenfolge. Das Bilddreieck hat dieselben Seitenlängen und Winkel wie das Original, liegt aber auf der anderen Seite der Achse. Zur Kontrolle klappst du das Blatt gedanklich an der Achse.