Körper, Netze und Volumen – Mathe Klasse 5 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Drahtmodell

Ein Quader hat \(a=5\ \text{cm}\), \(b=3\ \text{cm}\) und \(c=2\ \text{cm}\). Wie viel Draht braucht man für alle Kanten?

\(4\cdot(5+3+2)=4\cdot10=40\ \text{cm}\).

Beispiel 2: Oberflächen berechnen

Berechne die Oberfläche eines Würfels mit \(a=3\ \text{cm}\) und eines Quaders \(5\ \text{cm}\times3\ \text{cm}\times2\ \text{cm}\).

Würfel: \(O=6\cdot9=54\ \text{cm}^2\). Quader: \(O=2\cdot(15+10+6)=2\cdot31=62\ \text{cm}^2\).

Beispiel 3: Schuhkarton

Ein Schuhkarton ist 30 cm lang, 20 cm breit und 12 cm hoch. Wie viel Pappe braucht man?

Deckel und Boden: je \(30\cdot20=600\ \text{cm}^2\). Seiten: \(2\cdot(30\cdot12)+2\cdot(20\cdot12)=720+480=1\,200\ \text{cm}^2\). Zusammen: \(O=600+600+1\,200=2\,400\ \text{cm}^2\).

Beispiel 4: Volumen berechnen

Berechne das Volumen eines Quaders \(10\ \text{cm}\times4\ \text{cm}\times3\ \text{cm}\) und eines Würfels mit \(a=4\ \text{cm}\).

\(V=10\cdot4\cdot3=120\ \text{cm}^3\) und \(V=4^3=64\ \text{cm}^3\).

Beispiel 5: Zimmerluft

Ein Zimmer ist 5 m lang, 4 m breit und 2,5 m hoch. Wie viel Luft enthält es?

\(V=5\cdot4\cdot2{,}5=50\ \text{m}^3\), das sind 50 000 Liter.

Beispiel 6: Umrechnen

Rechne um: 2 500 ml in l, 4,5 l in cm³, 3 m³ in l.

\(2\,500\ \text{ml}=2{,}5\ \text{l}\), \(4{,}5\ \text{l}=4\,500\ \text{cm}^3\), \(3\ \text{m}^3=3\,000\ \text{l}\).

Beispiel 7: Höhe bestimmen

Ein Quader hat \(V=240\ \text{cm}^3\) und die Grundfläche \(5\cdot6=30\ \text{cm}^2\). Wie hoch ist er? Wie lang ist die Kante eines Würfels mit \(V=125\ \text{cm}^3\)?

\(c=240:30=8\ \text{cm}\). Beim Würfel sucht man die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert 125 ergibt: \(5\cdot5\cdot5=125\), also \(a=5\ \text{cm}\).

Beispiel 8: Milchtüte

Eine Milchtüte fasst 1 Liter und hat eine Grundfläche von 7 cm × 7 cm. Wie hoch ist sie ungefähr?

1 l sind 1 000 cm³. \(1\,000:49\approx20{,}4\ \text{cm}\).

Beispiel 9: Volumen und Liter

Ein Wassertank ist \(1{,}5\,\mathrm{m}\) lang, \(80\,\mathrm{cm}\) breit und \(1\,\mathrm{m}\) hoch. Wie viele Liter fasst er?

Zuerst alle Längen in dieselbe Einheit: \(15\,\mathrm{dm}\), \(8\,\mathrm{dm}\), \(10\,\mathrm{dm}\). Volumen: \(15\cdot8\cdot10=1200\,\mathrm{dm}^3\). Weil \(1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm{l}\) ist, fasst der Tank \(1\,200\) Liter. Zur Kontrolle: \(1{,}5\cdot0{,}8\cdot1=1{,}2\,\mathrm{m}^3=1200\,\mathrm{l}\).

Beispiel 10: Ist das ein Würfelnetz?

Fünf Quadrate liegen in einer Reihe, ein sechstes Quadrat liegt über dem zweiten. Ist das ein Würfelnetz?

Vier Quadrate in einer Reihe bilden beim Falten einen Ring: Vorderseite, rechte Seite, Rückseite, linke Seite. Das fünfte Quadrat würde wieder auf die Vorderseite fallen. Deshalb ist die Figur kein Würfelnetz. Man prüft mit dem Gegenüber-Test: Jede Fläche braucht genau eine gegenüberliegende Fläche, und keine zwei Quadrate dürfen beim Falten übereinander liegen.

Beispiel 11: Oberfläche im Alltag

Ein Kuchenkarton ohne Deckel ist \(30\,\mathrm{cm}\) lang, \(20\,\mathrm{cm}\) breit und \(10\,\mathrm{cm}\) hoch. Wie viel Pappe braucht man?

Ohne Deckel fehlt eine Fläche. Boden: \(30\cdot20=600\,\mathrm{cm}^2\). Lange Seitenwände: \(2\cdot30\cdot10=600\,\mathrm{cm}^2\). Kurze Seitenwände: \(2\cdot20\cdot10=400\,\mathrm{cm}^2\). Zusammen \(1\,600\,\mathrm{cm}^2\).

Beispiel 12: Höhe aus dem Volumen

Eine Kiste hat die Grundfläche \(50\,\mathrm{cm}\times40\,\mathrm{cm}\) und fasst \(80\) Liter. Wie hoch ist sie?

\(80\,\mathrm{l}=80\,\mathrm{dm}^3=80\,000\,\mathrm{cm}^3\). Die Grundfläche beträgt \(50\cdot40=2\,000\,\mathrm{cm}^2\). Also ist die Höhe \(h=80\,000:2\,000=40\,\mathrm{cm}\). Probe: \(50\cdot40\cdot40=80\,000\,\mathrm{cm}^3\). Das stimmt. Beim Umkehren der Volumenformel teilt man das Volumen durch die Grundfläche.

Beispiel 13: Vergleich von Volumen und Oberfläche

Würfel A hat die Kantenlänge \(3\,\mathrm{cm}\), Quader B misst \(9\,\mathrm{cm}\times3\,\mathrm{cm}\times1\,\mathrm{cm}\). Welcher Körper hat mehr Volumen, welcher mehr Oberfläche?

Volumen A: \(27\,\mathrm{cm}^3\); Volumen B: \(9\cdot3\cdot1=27\,\mathrm{cm}^3\). Beide haben dasselbe Volumen. Oberfläche A: \(6\cdot9=54\,\mathrm{cm}^2\); Oberfläche B: \(2\cdot(27+9+3)=78\,\mathrm{cm}^2\). Gleiches Volumen bedeutet nicht gleiche Oberfläche; der flache Quader braucht mehr Verpackung.

Beispiel 14: Würfel zählen im Quader

Ein Quader ist 5 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Wie viele Würfel mit einem Zentimeter Kantenlänge passen hinein?

In die unterste Schicht passen 5 mal 3, also 15 Würfel. Der Quader hat zwei Schichten, also passen 2 mal 15, das sind 30 Würfel hinein. Genau das berechnet die Formel für das Volumen: Länge mal Breite mal Höhe. Das Volumen beträgt 30 Kubikzentimeter. Die Schichtmethode macht anschaulich, warum man die drei Maße multipliziert.