Dieser Lernzettel zum Thema Prüfungsvorbereitung MSA Geometrie und Stochastik ist für Klasse 10 (Alter 15-16) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Pythagoras, Trigonometrie, Körper, Wahrscheinlichkeit in typischen MSA-Aufgaben. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Prüfungsvorbereitung MSA: Zahlen und Terme und Prüfungsvorbereitung MSA: Funktionen, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Prüfungsvorbereitung MSA Geometrie und Stochastik Klasse 10 Lernzettel: das lernst du
Im Bereich Geometrie und Stochastik des MSA begegnen dir der Satz des Pythagoras, die Winkelfunktionen, Flächen und Körper und einfache Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der übliche Lösungsweg lautet: Skizze, Formel, Einsetzen, Ergebnis, Antwortsatz.
Einstieg: Höhen messen ohne Klettern
Wie hoch ist der Kirchturm deiner Stadt? Du musst nicht hinaufklettern. Du misst den Abstand zum Turm, visierst die Spitze an und liest den Winkel ab. Aus diesen beiden Angaben berechnest du mit dem Tangens die Höhe. Mit Pythagoras, Sinus, Kosinus und Tangens lassen sich unzählige Längen und Winkel bestimmen, die du nicht messen kannst. Dazu kommen Kreise, Körper und die Wahrscheinlichkeitsrechnung. In diesem Kapitel übst du die geometrischen und stochastischen Aufgabentypen des Mittleren Schulabschlusses.
Satz des Pythagoras
Satz: Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt \(a^2+b^2=c^2\). Dabei ist \(c\) die Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel), \(a\) und \(b\) sind die Katheten. Es folgt \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) und \(a=\sqrt{c^2-b^2}\).
Beispiel 1: Leiter
Eine 5 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
\(h=\sqrt{25-2{,}25}=\sqrt{22{,}75}\approx4{,}77\) m.
Sinus, Kosinus und Tangens
Definition: Sinus, Kosinus, Tangens
Für den Winkel \(\alpha\) im rechtwinkligen Dreieck gilt:
\(\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}},\quad\cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}},\quad\tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
Hinweis
Stelle den Taschenrechner auf DEG. Winkel aus Seiten berechnest du mit \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\) und \(\tan^{-1}\). Gegenkathete und Ankathete hängen vom gewählten Winkel ab: Die Gegenkathete liegt gegenüber, die Ankathete liegt am Winkel an.
Beispiel 2: Seite berechnen
Hypotenuse 10 cm, \(\alpha=35^\circ\). Berechne \(a\) und \(b\).
\(a=10\cdot\sin35^\circ\approx5{,}74\) cm und \(b=10\cdot\cos35^\circ\approx8{,}19\) cm.
Beispiel 3: Winkel berechnen
Die Katheten sind 3 cm und 4 cm. Berechne \(\alpha\).
\(\tan\alpha=\frac34\), also \(\alpha=\tan^{-1}(0{,}75)\approx36{,}9^\circ\). Eine Straßensteigung von 12 % entspricht \(\tan\alpha=0{,}12\), also \(\alpha\approx6{,}8^\circ\).
Beispiel 4: Höhe eines Baumes
Aus 20 m Abstand sieht man die Spitze unter \(40^\circ\). Wie hoch ist der Baum (ohne Augenhöhe)?
\(h=20\cdot\tan40^\circ\approx16{,}8\) m.
Achtung
Im Satz des Pythagoras nicht die Hypotenuse mit einer Kathete verwechseln. Stelle den Taschenrechner auf DEG. Verwechsle bei Körpern nicht die Mantellinie \(s\) mit der Höhe \(h\).
Abstand im Koordinatensystem
Satz: Abstand zweier Punkte
Für \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\) gilt \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Zeichne ein Steigungsdreieck, dann siehst du die beiden Katheten. Für \(A(1|2)\) und \(B(4|6)\) ist \(d=\sqrt{9+16}=5\).
Kreis und Körper
Satz: Kreis
\(U=2\pi r\) und \(A=\pi r^2\). Ein Sektor mit dem Winkel \(\alpha\) hat die Fläche \(A=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}\) und die Bogenlänge \(b=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}\).
Satz: Körperformeln
- Zylinder: \(V=\pi r^2h\), \(O=2\pi r^2+2\pi rh\)
- Kegel: \(V=\frac13\pi r^2h\), \(s=\sqrt{r^2+h^2}\), \(M=\pi rs\)
- Kugel: \(V=\frac43\pi r^3\), \(O=4\pi r^2\)
- Quader: Raumdiagonale \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Beispiel 5: Raumdiagonale
Berechne die Raumdiagonale für \(a=3\), \(b=4\), \(c=12\).
\(d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\).
Wahrscheinlichkeit
Satz: Laplace-Experiment
Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt \(P(E)=\frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}\). Beim Würfel ist \(P(\text{gerade})=\frac36=\frac12\). Bei mehrstufigen Experimenten wird entlang eines Pfades multipliziert, Pfade zum selben Ereignis werden addiert.
Beispiel 6: Zweimal würfeln
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch, für die Augensumme 7 und für die Augensumme 12?
Es gibt \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinliche Paare. Pasch: 6 Paare, \(P=\frac16\). Summe 7: 6 Paare, \(P=\frac16\). Summe 12: nur \((6|6)\), \(P=\frac1{36}\).
Beispiel 7: Urne ohne Zurücklegen
Eine Urne enthält 4 rote und 6 blaue Kugeln. Zweimal ohne Zurücklegen: \(P(\text{rot},\text{rot})\)?
\(\frac4{10}\cdot\frac39=\frac{2}{15}\). Mit Zurücklegen wäre es \(0{,}4\cdot0{,}4=0{,}16\).
So gehst du vor: Sachaufgaben im MSA
- Lies die Aufgabe, zeichne eine Skizze und trage alle Größen ein.
- Wähle das Verfahren: rechtwinkliges Dreieck (Pythagoras oder Winkelfunktion), Körper (Formel), Zufall (Baumdiagramm).
- Rechne mit allen Stellen des Taschenrechners und runde erst am Ende.
- Schreibe einen Antwortsatz mit Einheit.
Beispiel 8: Kegel
Ein Kegel hat \(r=3\) cm und \(h=4\) cm. Berechne die Mantellinie, das Volumen und die Mantelfläche.
\(s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9+16}=5\) cm.
\(V=\frac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi\approx37{,}7\ \text{cm}^3\).
\(M=\pi rs=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\approx47{,}1\ \text{cm}^2\).
Beispiel 9: Kreissektor
Ein Kreisausschnitt hat \(r=6\) cm und \(\alpha=60^\circ\). Berechne Fläche und Bogenlänge.
Der Sektor ist \(\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac16\) des Kreises. \(A=\pi\cdot36\cdot\frac16=6\pi\approx18{,}85\ \text{cm}^2\) und \(b=2\pi\cdot6\cdot\frac16=2\pi\approx6{,}28\) cm.
Hinweis
Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, Sinus, Kosinus und Tangens verbinden Winkel und Seitenverhältnisse. Kreis und Körper berechnest du mit festen Formeln, bei zusammengesetzten Körpern addierst du Teilvolumina. In der Stochastik zählst du günstige Ergebnisse oder nutzt Pfadregeln im Baumdiagramm.
Welches Werkzeug im rechtwinkligen Dreieck?
In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwei Werkzeuge. Kennst du zwei Seiten und suchst die dritte, verwendest du den Satz des Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\). Kennst du eine Seite und einen spitzen Winkel und suchst eine Seite, oder kennst du zwei Seiten und suchst einen Winkel, verwendest du Sinus, Kosinus oder Tangens. Die Zuordnung der Seiten hängt vom Winkel ab, den du betrachtest: Die Gegenkathete liegt gegenüber dem Winkel, die Ankathete liegt an ihm an, die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel. Mit \(\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\) und \(\tan\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\) kannst du jedes Dreieck lösen. Achte darauf, dass dein Taschenrechner im Gradmaß (DEG) steht.
Beispiel 10: Steigungswinkel einer Rampe
Eine Rampe überwindet 1,2 m Höhenunterschied auf 5 m waagerechter Länge. Wie groß ist der Steigungswinkel, und welche Steigung in Prozent hat sie?
Die Höhe ist die Gegenkathete, die waagerechte Länge die Ankathete. Also \(\tan\alpha=\frac{1{,}2}{5}=0{,}24\) und \(\alpha=\tan^{-1}(0{,}24)\approx13{,}5^\circ\). Die Steigung in Prozent ist der Quotient selbst: \(0{,}24=24\,\%\). Beachte: Steigung und Winkel sind verschieden. Eine Steigung von 100 % entspricht einem Winkel von \(45^\circ\), nicht von \(90^\circ\).
Beispiel 11: Höhe eines Turms
Vom Punkt \(P\), der 25 m vom Fuß eines Turms entfernt liegt, wird die Turmspitze unter dem Winkel \(38^\circ\) angepeilt. Das Messgerät befindet sich in 1,6 m Höhe. Wie hoch ist der Turm?
Die Höhe über dem Messgerät ist die Gegenkathete des Winkels \(38^\circ\), der Abstand 25 m die Ankathete. Aus \(\tan38^\circ=\frac{h}{25}\) folgt \(h=25\cdot\tan38^\circ\approx25\cdot0{,}781=19{,}5\) m. Dazu kommt die Höhe des Messgeräts: Der Turm ist etwa \(19{,}5+1{,}6=21{,}1\) m hoch. Der häufigste Fehler ist, diese Augenhöhe zu vergessen.
Beispiel 12: Kreisring und Zylinder
Ein Metallring hat den äußeren Radius 5 cm und den inneren Radius 3 cm. Welche Fläche hat er? Wie viel Kubikzentimeter Metall enthält er bei einer Dicke von 2 cm?
Die Ringfläche ist die Differenz der Kreisflächen: \(A=\pi\cdot5^2-\pi\cdot3^2=16\pi\approx50{,}3\) cm². Das Volumen ist Fläche mal Dicke: \(V=16\pi\cdot2\approx100{,}5\) cm³. Alternativ könntest du das Volumen als Differenz zweier Zylinder berechnen.
Achtung: Typische Fehler in der Geometrie
Erstens: Wer in der Formel \(A=\pi r^2\) den Durchmesser statt des Radius einsetzt, erhält die vierfache Fläche. Zweitens: Beim Zylindervolumen müssen alle Längen in derselben Einheit stehen. Rechne am Ende \(1\,000\) cm³ in 1 Liter um. Drittens: Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck, und die Hypotenuse ist stets die längste Seite. Viertens: Bei der Winkelberechnung (\(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\)) musst du die Umkehrtasten benutzen und nicht den Quotienten noch einmal in die Funktion einsetzen.
Wahrscheinlichkeit: Zweistufige Zufallsexperimente
Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, und es gilt \(P(E)=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}\). Bei zweistufigen Experimenten zeichnest du ein Baumdiagramm und wendest die Pfadregeln an: Entlang eines Pfades multiplizierst du, mehrere Pfade zum selben Ereignis addierst du. Bei Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe. Ein nützlicher Trick ist das Gegenereignis: „mindestens eine 6“ berechnest du als \(1-P(\text{keine }6)\).
Beispiel 13: Zwei Würfel
Zwei faire Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 7, und wie wahrscheinlich ist mindestens eine Sechs?
Es gibt \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Die Summe 7 entsteht aus \((1|6),(2|5),(3|4),(4|3),(5|2),(6|1)\), das sind 6 Ergebnisse: \(P=\frac6{36}=\frac16\). Für „mindestens eine Sechs“ ist das Gegenereignis „keine Sechs“ mit \(5\cdot5=25\) Ergebnissen. Also \(P=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\approx0{,}31\).
So gehst du vor: Geometrie-Sachaufgaben
- Fertige eine Skizze an und beschrifte alle gegebenen und gesuchten Größen.
- Erkenne die Teilfigur: rechtwinkliges Dreieck, Kreis, Prisma, Zylinder, Kegel oder Kugel.
- Wähle die Formel: Pythagoras, Winkelfunktionen oder Flächen- und Volumenformel.
- Rechne mit Einheiten und rechne am Ende in die verlangte Einheit um.
- Prüfe das Ergebnis mit einer Überschlagsrechnung und schreibe einen Antwortsatz.
Körper in der Prüfung
Bei Körperaufgaben ist meist ein Alltagsgegenstand beschrieben: eine Getränkedose, eine Eistüte, ein Silo oder ein Ball. Erkenne zuerst, aus welchen Grundkörpern er besteht, und schreibe die passenden Formeln auf. Viele Prüflinge verlieren Punkte, weil sie bei zusammengesetzten Körpern Flächen mitzählen, die innen liegen, zum Beispiel die Kreisfläche zwischen Zylinder und Halbkugel. Frage dich bei der Oberfläche immer, welche Teile man von außen sieht und anstreichen würde.
Beispiel 14: Eistüte
Eine Eistüte hat den Radius 3 cm und die Höhe 10 cm. Wie groß ist die Mantelfläche, und wie viel Eis passt hinein?
Zuerst berechnest du die Mantellinie mit Pythagoras: \(s=\sqrt{3^2+10^2}=\sqrt{109}\approx10{,}44\) cm. Die Mantelfläche ist \(M=\pi rs\approx\pi\cdot3\cdot10{,}44\approx98{,}4\) cm². Das Volumen beträgt \(V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot9\cdot10\approx94{,}2\) cm³, das sind etwa 0,09 Liter.
Beispiel 15: Dreieck im Koordinatensystem
Zeige, dass das Dreieck \(A(1|1)\), \(B(5|1)\), \(C(5|4)\) rechtwinklig ist, und berechne seinen Umfang.
Die Strecke \(AB\) liegt waagerecht mit \(AB=4\), die Strecke \(BC\) senkrecht mit \(BC=3\). Also ist der Winkel bei \(B\) ein rechter. Die Hypotenuse ist \(AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\). Der Umfang beträgt \(4+3+5=12\). Die Fläche ist \(\frac12\cdot4\cdot3=6\).
Hinweis: Rundung und Einheiten
Rechne mit ungerundeten Zwischenergebnissen und runde erst am Ende, sonst addieren sich die Rundungsfehler. Gib Längen in Metern oder Zentimetern, Flächen in Quadrateinheiten und Volumina in Kubikeinheiten an. Eine Fläche in Metern oder ein Volumen ohne Einheit gilt in der Prüfung als Fehler. Prüfe am Ende außerdem, ob dein Ergebnis zur Größenordnung passt: Eine Leiter kann nicht höher reichen als lang sie ist.
Wusstest du? Eratosthenes misst die Erde
Vor über 2000 Jahren bestimmte der griechische Gelehrte Eratosthenes den Umfang der Erde. Er wusste, dass die Sonne in Syene zur Mittagszeit senkrecht steht, in Alexandria aber einen Schatten wirft, der einem Winkel von etwa \(7{,}2^\circ\) entspricht. Das ist der fünfzigste Teil des Vollkreises. Mit dem Abstand der Städte konnte er den Erdumfang abschätzen, und sein Ergebnis kommt dem heutigen Wert von etwa 40 000 km erstaunlich nahe. Er brauchte dazu nur Winkel, Proportionen und einen Stock.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck: \(a^2+b^2=c^2\) (\(c\) Hypotenuse); Abstand zweier Punkte \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
- \(\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\tan\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\); Winkel mit \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\).
- Steigung in Prozent \(=\tan\alpha\cdot100\,\%\); 100 % entsprechen \(45^\circ\).
- Kreis: \(U=2\pi r\), \(A=\pi r^2\); Kreisring \(A=\pi(R^2-r^2)\).
- Zylinder \(V=\pi r^2h\), \(O=2\pi r^2+2\pi rh\); Kegel \(V=\frac13\pi r^2h\), \(M=\pi rs\) mit \(s=\sqrt{r^2+h^2}\); Kugel \(V=\frac43\pi r^3\), \(O=4\pi r^2\).
- Raumdiagonale eines Quaders: \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
- Laplace: \(P(E)=\frac{\text{günstige}}{\text{alle}}\); Pfadregeln: multiplizieren längs, addieren zwischen den Pfaden; Gegenereignis \(P(\overline E)=1-P(E)\).
- Bei Sachaufgaben immer Skizze, Einheiten kontrollieren und Antwortsatz schreiben.
Achtung
Beim Ziehen ohne Zurücklegen musst du die Wahrscheinlichkeiten anpassen. Beim Kegel brauchst du für die Mantelfläche die Mantellinie \(s\), nicht die Höhe \(h\).
Ottos Tipp
Zeichne bei jeder Geometrieaufgabe eine Skizze und beschrifte den gegebenen Winkel. Dann ordnest du die Seiten richtig zu: Gegenkathete liegt gegenüber vom Winkel, Ankathete liegt am Winkel an. Bei Wahrscheinlichkeiten hilft ein Baumdiagramm immer.
So nutzt du den Lernzettel Prüfungsvorbereitung MSA Geometrie und Stochastik (Klasse 10)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Prüfungsvorbereitung MSA: Geometrie und Stochastik und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Prüfungsvorbereitung MSA: Geometrie und Stochastik und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Prüfungsvorbereitung MSA Geometrie und Stochastik (Klasse 10) alles, was du für das Thema brauchst.
Zusammenfassend gilt: Regelmäßiges Üben hilft mehr als eine lange Sitzung. Zum Beispiel reichen oft zehn Minuten am Tag. Außerdem sind Fehler nützlich, denn sie zeigen, was du wiederholen solltest. Sobald ein Verfahren leicht wirkt, versuchst du danach eine schwerere Aufgabe. Dadurch wächst dein Selbstvertrauen Schritt für Schritt.
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