Statistik: Mittelwert, Median und Boxplot – Mathe Klasse 7 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Häufigkeitstabelle

In einer Klasse mit 30 Schülern haben 6 kein Geschwisterkind, 10 eines, 8 zwei, 4 drei und 2 vier. Bestimme Mittelwert und Median.

Mittelwert: \(\frac{0\cdot6+1\cdot10+2\cdot8+3\cdot4+4\cdot2}{30}=\frac{46}{30}\approx1{,}53\). Die 15. und 16. Zahl sind beide 1, also ist der Median 1.

Beispiel 2: Noten

Noten 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5 (geordnet). Bestimme Mittelwert, Median und Modus.

Mittelwert: \(\frac{23}{8}=2{,}875\). Median: Die beiden mittleren Werte sind 3 und 3, also 3. Modus: 3.

Beispiel 3: Ausreißer

Monatsgehälter 1 800, 2 000, 2 100, 2 200 und 9 000 Euro. Welches Lagemaß passt besser?

Mittelwert: \(\frac{17\,100}{5}=3\,420\). Median: 2 100. Der Ausreißer 9 000 zieht den Mittelwert nach oben, der Median bleibt robust. Hier ist der Median aussagekräftiger.

Beispiel 4: Quartile

Daten \(5,8,10,10,12,15,20,25,30\) (\(n=9\)). Bestimme Median, Quartile, Quartilsabstand und Spannweite.

Median 12 (der fünfte Wert). Untere Hälfte \(5,8,10,10\): \(Q_1=\frac{8+10}{2}=9\). Obere Hälfte \(15,20,25,30\): \(Q_3=\frac{20+25}{2}=22{,}5\). Quartilsabstand 13,5. Spannweite 25.

Beispiel 5: Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Daten \(2,4,5,7,8,9,12,15\) (\(n=8\)).

Median \(\frac{7+8}{2}=7{,}5\). \(Q_1=\frac{4+5}{2}=4{,}5\), \(Q_3=\frac{9+12}{2}=10{,}5\). Zusammenfassung: \(2\mid4{,}5\mid7{,}5\mid10{,}5\mid15\).

Beispiel 6: Im Alltag (Handyakku-Test)

Ein Magazin testet die Laufzeit von elf Handys (in Stunden): \(9;11;12;12;13;14;14;15;16;18;22\). Beschreibe die Daten.

Median \(14\) (sechster Wert). \(Q_1=12\), \(Q_3=16\). Quartilsabstand \(4\), Spannweite \(13\). Mittelwert \(\frac{156}{11}\approx14{,}2\). Die Hälfte der Handys hält länger als \(14\) Stunden, die mittleren \(50\,\%\) liegen zwischen \(12\) und \(16\) Stunden.

Beispiel 7: Aus der Häufigkeitstabelle

Eine Klasse (\(20\) Schüler) hat folgende Geschwisterzahlen: \(0\): \(4\) Kinder, \(1\): \(8\), \(2\): \(5\), \(3\): \(3\). Berechne Mittelwert und Median.

Mittelwert \(\frac{0\cdot4+1\cdot8+2\cdot5+3\cdot3}{20}=\frac{27}{20}=1{,}35\). Median: Der \(10.\) und \(11.\) Wert sind beide \(1\), also Median \(1\). Modus \(1\).

Beispiel 8: Ein Boxplot wird gezeichnet

Zeichne den Boxplot für \(2;4;5;7;8;9;12;15\) (Fünf-Punkte-Zusammenfassung \(2\mid4{,}5\mid7{,}5\mid10{,}5\mid15\)).

Lege eine Zahlengerade von \(0\) bis \(16\) an. Zeichne die Box von \(4{,}5\) bis \(10{,}5\), den Median-Strich bei \(7{,}5\) und die Whisker bis \(2\) und \(15\). Die Box ist \(6\) Einheiten breit, die Gesamtbreite \(13\).

Beispiel 9: Fehlender Wert

Vier Tests ergaben 12, 15, 9 und 14 Punkte. Wie viele Punkte braucht man im fünften Test für einen Durchschnitt von 13 Punkten?

Ein Durchschnitt von 13 bei fünf Tests bedeutet eine Gesamtsumme von \(5\cdot13=65\) Punkten. Bisher sind es \(12+15+9+14=50\) Punkte. Im fünften Test sind also \(65-50=15\) Punkte nötig. Merke: Bei Aufgaben mit gesuchtem Wert rechnest du immer über die Summe, denn Mittelwert mal Anzahl ergibt die Summe aller Werte.

Beispiel: Zwei Boxplots vergleichen

Die Sprungweiten zweier Gruppen im Weitsprung werden als Boxplots dargestellt. Gruppe A: Median 3,6 m, Box von 3,3 m bis 3,9 m. Gruppe B: Median 3,8 m, Box von 3,0 m bis 4,4 m. Vergleiche.

Gruppe B springt im Mittel weiter, denn ihr Median liegt 20 cm höher. Ihre Box ist aber doppelt so breit, die Leistungen streuen also viel stärker. In Gruppe A sind die Kinder ähnlich gut, in Gruppe B gibt es sehr starke und eher schwache Springer. Beim Vergleich von Boxplots betrachtet man deshalb immer Lage und Breite gemeinsam.