Prozentrechnung – Mathe Klasse 7 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Umrechnen: Bruch → Dezimalzahl durch Teilen, Dezimalzahl → Prozent durch Multiplizieren mit 100.

   \(\frac35=3:5=0{,}6=60\,\%\).

   \(0{,}35=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}=35\,\%\).

   \(7\,\%=\frac{7}{100}=0{,}07\).

   \(\frac18=1:8=0{,}125=12{,}5\,\%\).

   b) In Prozent lassen sich die Anteile direkt vergleichen: \(60\,\%>35\,\%>12{,}5\,\%>7\,\%\).

   Antwort: Der größte Anteil ist \(\frac35=60\,\%\), der kleinste \(7\,\%\).

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Man nutzt einfache Anteile: \(10\,\%=\frac1{10}\), \(25\,\%=\frac14\), \(50\,\%=\frac12\).

   a) \(10\,\%\) heißt durch 10 teilen: \(340:10=34\,€\).

   b) \(25\,\%\) ist ein Viertel: \(120:4=30\) kg.

   c) \(50\,\%\) ist die Hälfte: \(86:2=43\) m.

   d) \(5\,\%\) ist die Hälfte von \(10\,\%\): \(10\,\%\) sind 6, also \(5\,\%\) sind 3 Schüler.

   e) \(75\,\%\) sind drei Viertel: \(48:4=12\), \(3\cdot12=36\) Liter.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Prozentsatz = Prozentwert durch Grundwert. Man kürzt den Bruch und rechnet in Hundertstel um.

   a) \(\frac{9}{36}=\frac14=\frac{25}{100}=25\,\%\).

   b) \(\frac{45}{60}=\frac34=\frac{75}{100}=75\,\%\).

   c) \(\frac{14}{80}=\frac{7}{40}=0{,}175=17{,}5\,\%\).

   d) \(\frac{3}{12}=\frac14=25\,\%\).

   Antwort: 25 %, 75 %, 17,5 % und 25 %. Auffällig: a) und d) ergeben denselben Prozentsatz, obwohl die Zahlen verschieden sind, weil beide Brüche \(\frac14\) sind.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Gesucht ist jeweils der Grundwert: \(G=W:\frac{p}{100}\). Danach wird mit \(W=G\cdot\frac{p}{100}\) die Probe gemacht.

   a) \(G=33:0{,}15=220\). Probe: \(220\cdot0{,}15=33\). Der Betrag ist \(220\,€\).

   b) \(G=52:0{,}4=130\). Probe: \(130\cdot0{,}4=52\). Die Strecke ist \(130\) km lang.

   c) \(G=14:0{,}08=175\). Probe: \(175\cdot0{,}08=14\). Die Menge beträgt \(175\) kg.

   d) Hier ist der Prozentsatz größer als 100 %, also muss der Grundwert kleiner als 90 € sein: \(G=90:1{,}2=75\). Probe: \(75\cdot1{,}2=90\). Der Preis betrug \(75\,€\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) Rabatt = Preis mal Prozentsatz: \(80\cdot0{,}15=12\,€\). Angebotspreis: \(80-12=68\,€\). Schneller mit dem Faktor: \(80\cdot0{,}85=68\,€\).

   b) \(65\cdot0{,}2=13\,€\) Rabatt. Angebotspreis: \(65-13=52\,€\), oder \(65\cdot0{,}8=52\,€\).

   c) In Euro spart man bei den Schuhen mehr, denn \(13\,€>12\,€\). Auch der Prozentsatz ist bei den Schuhen größer (\(20\,\%>15\,\%\)). Das ist nicht selbstverständlich, denn die Schuhe sind billiger als die Jacke.

   Antwort: Jacke 68 €, Schuhe 52 €; bei den Schuhen spart man mehr.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) Steuer: \(240\cdot0{,}19=45{,}60\,€\). Bruttopreis: \(240+45{,}60=285{,}60\,€\), oder direkt \(240\cdot1{,}19=285{,}60\,€\).

   b) Der Bruttopreis entspricht \(119\,\%\) des Nettopreises. Also ist der Nettopreis \(59{,}50:1{,}19=50{,}00\,€\). Enthaltene Steuer: \(59{,}50-50=9{,}50\,€\).

   c) \(18\cdot1{,}07=19{,}26\,€\).

   Achtung bei b): Man darf nicht \(19\,\%\) von \(59{,}50\,€\) abziehen, weil sich die Steuer auf den Nettopreis bezieht. Antwort: 285,60 €; 50 € netto mit 9,50 € Steuer; 19,26 €.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Faktor \(1{,}1\): Brezel \(0{,}88\,€\), Schorle \(1{,}32\,€\), Brötchen \(1{,}65\,€\).
   b) Vorher: \(60\cdot0{,}80+45\cdot1{,}20+30\cdot1{,}50=48+54+45=147{,}00\,€\). Nachher: \(52{,}80+59{,}40+49{,}50=161{,}70\,€\).
   c) Die Einnahme steigt um \(14{,}70\,€\), das sind \(\frac{14{,}70}{147}=10\,\%\). Alle Preise steigen um denselben Faktor, also auch die Summe.
   d) Es werden \(54\) Brezeln verkauft: \(54\cdot0{,}88=47{,}52\,€\) statt \(48{,}00\,€\). Die Einnahme sinkt leicht, die Erhöhung lohnt sich bei den Brezeln nicht.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Anzahlung: \(4200\cdot0{,}3=1260\,€\).

   b) Rest: \(4200-1260=2940\,€\), das sind \(70\,\%\) der Gesamtkosten.

   c) Auf 25 Personen verteilt: \(2940:25=117{,}60\,€\) pro Person.

   d) Zuschuss des Fördervereins: \(4200\cdot0{,}15=630\,€\). Die Klasse muss noch \(4200-630=3570\,€\) aufbringen. Pro Person: \(3570:25=142{,}80\,€\). Ohne Zuschuss wären es \(4200:25=168\,€\) gewesen.

   Antwort: Mit Zuschuss zahlt jede Person insgesamt \(142{,}80\,€\), also \(25{,}20\,€\) weniger.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) Trefferquote = Tore durch Schüsse. Anna: \(\frac{9}{12}=0{,}75=75\,\%\). Bea: \(\frac{9}{15}=0{,}6=60\,\%\). Cara: \(\frac{6}{8}=75\,\%\). Dilara: \(\frac{13}{20}=0{,}65=65\,\%\).

   b) Anna und Cara haben mit je \(75\,\%\) die beste Quote. Annas Wert ist aber aussagekräftiger, weil sie mehr Schüsse abgegeben hat. Bea hat zwar genauso viele Tore wie Anna, aber mehr Schüsse gebraucht.

   c) Neu: \(9+8=17\) Tore bei \(12+8=20\) Schüssen, \(\frac{17}{20}=85\,\%\).

   Antwort: Annas neue Quote beträgt 85 %.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Wahlbeteiligung = Wähler durch Wahlberechtigte: \(\frac{250}{400}=0{,}625=62{,}5\,\%\).

    b) Grundwert sind die 250 abgegebenen Stimmen. Lea: \(250\cdot0{,}44=110\). Max: \(250\cdot0{,}36=90\). Mia erhält \(100\,\%-44\,\%-36\,\%=20\,\%\), also \(250\cdot0{,}2=50\) Stimmen. Kontrolle: \(110+90+50=250\).

    c) \(44-36=8\) Prozentpunkte, das sind \(110-90=20\) Stimmen.

    d) Grundwert ist Mias Stimmenzahl: \(\frac{110-50}{50}=\frac{60}{50}=1{,}2=120\,\%\).

    Antwort: Lea hat 120 % mehr Stimmen als Mia.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Erhöhung um \(8\,\%\): Faktor \(1+0{,}08=1{,}08\). Neuer Preis \(320\cdot1{,}08=345{,}60\,€\).

    b) Senkung um \(12\,\%\): Faktor \(1-0{,}12=0{,}88\). Neuer Preis \(320\cdot0{,}88=281{,}60\,€\).

    c) Der neue Preis ist das \(1{,}08\)-Fache des alten. Rückwärts teilt man: \(410{,}40:1{,}08=380{,}00\,€\). Probe: \(380\cdot1{,}08=410{,}40\).

    d) Der neue Preis ist das \(0{,}95\)-Fache: \(247:0{,}95=260{,}00\,€\). Probe: \(260\cdot0{,}95=247\).

    Antwort: 345,60 €; 281,60 €; 380 €; 260 €.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    Prozentuale Änderung = Änderung durch alten Wert.

    a) Änderung \(+5\,€\), alter Wert \(20\,€\): \(\frac{5}{20}=25\,\%\) Zunahme.

    b) Änderung \(-5\,€\), alter Wert \(25\,€\): \(\frac{5}{25}=20\,\%\) Abnahme.

    c) Änderung \(0{,}30\,€\): \(\frac{0{,}30}{2{,}40}=0{,}125=12{,}5\,\%\) Zunahme.

    d) Änderung \(75\,€\): \(\frac{75}{500}=15\,\%\) Abnahme.

    e) Die Differenz ist zwar beide Male 5 €, aber der Grundwert ist verschieden: In a) bezieht man sich auf 20 €, in b) auf 25 €. Bei größerem Grundwert ergibt derselbe Betrag einen kleineren Prozentsatz.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Grundwert ist das Gemüsebeet mit \(12\,\mathrm{m}^2\). Tomaten: \(12\cdot0{,}35=4{,}2\,\mathrm{m}^2\). Salat: \(12\cdot0{,}25=3\,\mathrm{m}^2\).

    b) Kräuter: \(100\,\%-35\,\%-25\,\%=40\,\%\), also \(12\cdot0{,}4=4{,}8\,\mathrm{m}^2\). Kontrolle: \(4{,}2+3+4{,}8=12\).

    c) Gesamtfläche \(12+18=30\,\mathrm{m}^2\). Anteil: \(\frac{12}{30}=0{,}4=40\,\%\).

    d) Vergrößerung um \(25\,\%\): \(12\cdot1{,}25=15\,\mathrm{m}^2\).

    Antwort: Das vergrößerte Gemüsebeet ist 15 m² groß.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Duschen und Baden: \(125\cdot0{,}36=45\) Liter. Toilette: \(125\cdot0{,}27=33{,}75\) Liter.

    b) Gespart werden \(30\,\%\) der Duschmenge: \(45\cdot0{,}3=13{,}5\) Liter pro Tag und Person.

    c) Vier Personen, 365 Tage: \(13{,}5\cdot4\cdot365=19\,710\) Liter.

    d) \(1\,\mathrm{m}^3=1000\) Liter, also \(19\,710\) l \(=19{,}71\,\mathrm{m}^3\). Kosten: \(19{,}71\cdot4=78{,}84\,€\).

    Antwort: Die Familie spart im Jahr fast 20 000 Liter Wasser und \(78{,}84\,€\).

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Händler A: Erst \(15\,\%\) Rabatt, Faktor \(0{,}85\): \(480\cdot0{,}85=408\,€\). Dann \(5\,\%\) Skonto auf diesen Preis, Faktor \(0{,}95\): \(408\cdot0{,}95=387{,}60\,€\).

    b) Händler B: \(480\cdot0{,}8=384\,€\), dazu Versand: \(384+12{,}90=396{,}90\,€\).

    c) Händler A ist günstiger, und zwar um \(396{,}90-387{,}60=9{,}30\,€\).

    d) Gesamtfaktor bei A: \(0{,}85\cdot0{,}95=0{,}8075\). Man zahlt \(80{,}75\,\%\) und spart \(19{,}25\,\%\). Es sind keine \(20\,\%\), weil sich das Skonto auf den bereits reduzierten Preis bezieht und nicht auf den Listenpreis von \(480\,€\).

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Alle Anteile zusammen ergeben \(100\,\%\): \(100-14-9-18-22=37\,\%\) für „Sonstiges“.

    b) Grundwert \(3600\) kWh: Kühlen \(3600\cdot0{,}14=504\) kWh, Licht \(324\) kWh, Waschen \(648\) kWh, TV/PC \(792\) kWh, Sonstiges \(1332\) kWh. Summe: \(3600\) kWh.

    c) Gesamt: \(3600\cdot0{,}32=1152{,}00\,€\). Kühlschrank: \(504\cdot0{,}32=161{,}28\,€\).

    d) Ersparnis: \(504\cdot0{,}4=201{,}6\) kWh, also \(201{,}6\cdot0{,}32\approx64{,}51\,€\) pro Jahr. \(450:64{,}51\approx6{,}98\).

    Antwort: Nach etwa 7 Jahren hat sich der neue Kühlschrank bezahlt gemacht.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Grundwert sind die 200 Befragten. Fußball \(\frac{76}{200}=38\,\%\), Basketball \(\frac{38}{200}=19\,\%\), Schwimmen \(\frac{30}{200}=15\,\%\), Tennis \(\frac{22}{200}=11\,\%\), Sonstige \(\frac{34}{200}=17\,\%\). Summe: \(100\,\%\).

    b) \(100\,\%\) entsprechen \(360^\circ\), also \(1\,\%\) entspricht \(3{,}6^\circ\): \(136{,}8^\circ\), \(68{,}4^\circ\), \(54^\circ\), \(39{,}6^\circ\), \(61{,}2^\circ\). Summe \(360^\circ\).

    c) Hochrechnung auf die Schule: \(850\cdot0{,}38=323\) Schüler.

    d) Ja, denn \(76=2\cdot38\) und \(38\,\%=2\cdot19\,\%\).

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Erhöhung um \(20\,\%\), Faktor \(1{,}2\): \(280\cdot1{,}2=336\,€\).

    b) Rabatt \(20\,\%\), Faktor \(0{,}8\): \(336\cdot0{,}8=268{,}80\,€\).

    c) Unterschied: \(280-268{,}80=11{,}20\,€\). In Prozent: \(\frac{11{,}20}{280}=0{,}04=4\,\%\). Das passt zum Gesamtfaktor \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\).

    d) Von \(336\,€\) auf \(280\,€\) sind es \(56\,€\) weniger: \(\frac{56}{336}\approx16{,}7\,\%\).

    e) Die Werbung täuscht: Die \(20\,\%\) Erhöhung bezog sich auf \(280\,€\), der \(20\,\%\) Rabatt auf den höheren Preis \(336\,€\). Deshalb spart man nur \(4\,\%\).

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) \(40\,\%\) mehr, Faktor \(1{,}4\): \(90\cdot1{,}4=126\,€\) pro Nacht.

    b) \(7\cdot126=882\,€\).

    c) Frühbucherrabatt \(12\,\%\), Faktor \(0{,}88\): \(882\cdot0{,}88=776{,}16\,€\). Der Rabatt beträgt \(105{,}84\,€\).

    d) Kurtaxe: \(4\) Personen mal \(7\) Nächte mal \(1{,}80\,€\) \(=50{,}40\,€\). Gesamtpreis: \(776{,}16+50{,}40=826{,}56\,€\).

    e) \(\frac{50{,}40}{826{,}56}\approx0{,}061=6{,}1\,\%\).

    f) Nebensaison: \(7\cdot90+50{,}40=680{,}40\,€\). Ersparnis: \(826{,}56-680{,}40=146{,}16\,€\).

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Die Gurken bestehen zu \(99\,\%\) aus Wasser, also zu \(1\,\%\) aus Trockenmasse: \(200\cdot0{,}01=2\) kg.

    b) Nach dem Trocknen machen die 2 kg Trockenmasse \(100\,\%-98\,\%=2\,\%\) der neuen Masse aus. Grundwert: \(G=2:0{,}02=100\) kg.

    c) Entscheidend ist der Anteil der Trockenmasse: Er steigt von \(1\,\%\) auf \(2\,\%\), verdoppelt sich also. Da die Trockenmasse selbst gleich bleibt (2 kg), muss das Ganze halb so schwer sein. Ein Prozentpunkt weniger Wasser bedeutet hier 100 kg weniger Gewicht.