Teilbarkeit und Primzahlen – Mathe Klasse 5 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Wir suchen Teilerpaare, deren Produkt die Zahl ergibt, und beginnen bei 1. Sobald sich die Paare wiederholen, sind wir fertig.
   a) 48: \(1\cdot48\), \(2\cdot24\), \(3\cdot16\), \(4\cdot12\), \(6\cdot8\). \(T_{48}=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}\). 5 ist kein Teiler, 7 auch nicht, und nach 6 kommt schon 8 aus dem Paar \(6\cdot8\).
   b) 60: \(1\cdot60\), \(2\cdot30\), \(3\cdot20\), \(4\cdot15\), \(5\cdot12\), \(6\cdot10\). \(T_{60}=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}\).
   c) 100: \(1\cdot100\), \(2\cdot50\), \(4\cdot25\), \(5\cdot20\), \(10\cdot10\). \(T_{100}=\{1,2,4,5,10,20,25,50,100\}\).
   d) 48 hat 10 Teiler, 60 hat 12, 100 hat 9. 100 hat eine ungerade Anzahl, weil \(10\cdot10\) nur einen Teiler liefert.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Vielfache sind die Ergebnisse der Einmaleinsreihe.
   a) \(7\cdot1=7\), \(7\cdot2=14\), \(7\cdot3=21\), \(7\cdot4=28\), \(7\cdot5=35\).
   b) Vielfache von 12: …, 48, 60, 72, 84, 96, 108, … Zwischen 50 und 100 liegen 60, 72, 84 und 96.
   c) Ja. Die Quersumme von 135 ist \(1+3+5=9\), also ist 135 durch 9 teilbar. Tatsächlich ist \(9\cdot15=135\).
   d) \(13\cdot7=91\) ist noch kleiner als 100, \(13\cdot8=104\) ist größer. Das gesuchte Vielfache ist 104.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Regeln: durch 2, wenn die letzte Ziffer gerade ist; durch 5, wenn sie 0 oder 5 ist; durch 10, wenn sie 0 ist; durch 3 bzw. 9, wenn die Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist.
   a) 135: Quersumme 9, letzte Ziffer 5. Teilbar durch 3, 5 und 9; nicht durch 2 und 10.
   b) 2340: Quersumme 9, letzte Ziffer 0. Teilbar durch 2, 3, 5, 9 und 10.
   c) 4572: Quersumme 18, letzte Ziffer 2. Teilbar durch 2, 3 und 9; nicht durch 5 und 10.
   d) 7001: Quersumme 8, letzte Ziffer 1. Durch keine der fünf Zahlen teilbar.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) Durch 5 teilbar heißt: letzte Ziffer 0 oder 5. Also 470 oder 475.
   b) Die bekannten Ziffern haben die Quersumme \(3+6=9\). Die Gesamtquersumme \(9+\star\) muss durch 3 teilbar sein: \(\star\) ist 0, 3, 6 oder 9. Möglich sind 306, 336, 366, 396.
   c) Durch 2 teilbar: \(\star\) gerade. Durch 3 teilbar: \(5+1+\star=6+\star\) durch 3 teilbar, also \(\star\) ist 0, 3, 6 oder 9. Beides zusammen: \(\star=0\) oder \(\star=6\), also 510 oder 516.
   d) Quersumme \(8+4+\star=12+\star\) muss durch 9 teilbar sein, also 18: \(\star=6\). Die Zahl ist 864. Probe: \(864=9\cdot96\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) Primzahlen bis 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Man findet sie mit dem Sieb des Eratosthenes: Vielfache von 2, 3, 5 streichen.
   b) 51: Quersumme 6, also durch 3 teilbar, \(51=3\cdot17\), keine Primzahl. 57: Quersumme 12, \(57=3\cdot19\), keine Primzahl. 91: \(91=7\cdot13\), keine Primzahl, obwohl man das nicht sofort sieht. 97: nicht durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar; da \(11\cdot11=121>97\), muss man nicht weiter prüfen. 97 ist eine Primzahl.
   c) Die einzige gerade Primzahl ist 2.
   d) Jede andere gerade Zahl hat außer 1 und sich selbst noch den Teiler 2. Sie hat also mindestens drei Teiler und ist keine Primzahl.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Wir teilen so lange durch die kleinste passende Primzahl, bis 1 übrig bleibt.
   a) \(60:2=30\), \(30:2=15\), \(15:3=5\), \(5:5=1\). \(60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5\). Probe: \(4\cdot3\cdot5=60\).
   b) \(84:2=42\), \(42:2=21\), \(21:3=7\). \(84=2^2\cdot3\cdot7\). Probe: \(4\cdot21=84\).
   c) \(150:2=75\), \(75:3=25\), \(25:5=5\). \(150=2\cdot3\cdot5^2\). Probe: \(6\cdot25=150\).
   d) \(225:3=75\), \(75:3=25\), \(25:5=5\). \(225=3^2\cdot5^2\). Probe: \(9\cdot25=225\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Gemeinsame Teiler von 24 und 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte ist 12.
   b) \(48=2^4\cdot3\), \(72=2^3\cdot3^2\). Gemeinsam sind \(2^3\) und \(3\): ggT \(=8\cdot3=24\). Kontrolle: \(48=2\cdot24\), \(72=3\cdot24\).
   c) \(35=5\cdot7\), \(64=2^6\). Es gibt keinen gemeinsamen Primfaktor, nur 1 teilt beide. ggT \(=1\); die Zahlen heißen teilerfremd.
   d) \(90=2\cdot3^2\cdot5\), \(150=2\cdot3\cdot5^2\). Gemeinsam: \(2\cdot3\cdot5=30\). ggT \(=30\).

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24 … Vielfache von 8: 8, 16, 24 … Das erste gemeinsame ist 24.
   b) \(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\). Für das kgV nimmt man jeden Primfaktor mit der höchsten vorkommenden Anzahl: \(2^2\cdot3^2=36\).
   c) 7 und 9 sind teilerfremd, also ist das kgV ihr Produkt: \(7\cdot9=63\).
   d) \(20=2^2\cdot5\), \(50=2\cdot5^2\). kgV \(=2^2\cdot5^2=100\). Kontrolle: \(100=5\cdot20=2\cdot50\).

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) Wahr. \(4=2\cdot2\). Ist eine Zahl ein Vielfaches von 4, so ist sie auch ein Vielfaches von 2, zum Beispiel \(28=4\cdot7=2\cdot14\).
   b) Falsch. Gegenbeispiel: 18 ist durch 6 teilbar (\(18=6\cdot3\)), aber nicht durch 12. Umgekehrt stimmt es: Jede durch 12 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar.
   c) Wahr. Gerade Zahlen kann man als \(2a\) und \(2b\) schreiben; die Summe \(2a+2b=2(a+b)\) ist wieder ein Vielfaches von 2. Beispiel: \(14+8=22\).
   d) Falsch. Die 2 ist eine Primzahl und gerade.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Teilerpaare von 72: \(1\cdot72\), \(2\cdot36\), \(3\cdot24\), \(4\cdot18\), \(6\cdot12\), \(8\cdot9\). \(T_{72}=\{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\}\).
    b) Reihenzahlen zwischen 4 und 12 müssen Teiler von 72 sein: 4, 6, 8, 9, 12. Also 4 Reihen zu 18, 6 Reihen zu 12, 8 Reihen zu 9, 9 Reihen zu 8 und 12 Reihen zu 6 Stühlen.
    c) 5 ist kein Teiler von 72: \(72:5=14\) Rest 2. Gleich lange Reihen sind nicht möglich.
    d) \(5\cdot14=70\) Stühle stehen, \(72-70=2\) bleiben übrig.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Die Plattenkante muss sowohl 360 cm als auch 240 cm ohne Rest teilen. Die größte solche Zahl ist der ggT: \(360=3\cdot120\), \(240=2\cdot120\), und 3 und 2 sind teilerfremd. ggT \(=120\) cm.
    b) In der Länge \(360:120=3\) Platten, in der Breite \(240:120=2\) Platten.
    c) \(3\cdot2=6\) Platten.
    d) \(6\cdot6{,}50=39{,}00\) €.
    Antwort: Sechs Platten mit 1,20 m Kantenlänge für 39 €.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Linie 5 fährt nach 12, 24, 36, 48, 60 … Minuten, Linie 8 nach 15, 30, 45, 60 … Minuten. Das erste gemeinsame Vielfache ist kgV(12, 15) \(=60\) Minuten.
    b) \(7{:}00\) Uhr plus 60 Minuten: 8:00 Uhr.
    c) Die Busse treffen sich jede volle Stunde: 8, 9, 10, 11 und 12 Uhr. Das sind 5 Treffen; Kontrolle \(300:60=5\).
    d) kgV(12, 15, 20): \(12=2^2\cdot3\), \(15=3\cdot5\), \(20=2^2\cdot5\); kgV \(=2^2\cdot3\cdot5=60\). Alle drei fahren wieder gemeinsam um 8:00 Uhr ab.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Die Zahl der Sträuße muss jede Blumenzahl ohne Rest teilen; möglichst viele heißt ggT(48, 36, 60). \(48=2^4\cdot3\), \(36=2^2\cdot3^2\), \(60=2^2\cdot3\cdot5\). Gemeinsam: \(2^2\cdot3=12\). Höchstens 12 Sträuße.
    b) Jeder Strauß: \(48:12=4\) Rosen, \(36:12=3\) Nelken, \(60:12=5\) Tulpen.
    c) \(4+3+5=12\) Blumen pro Strauß.
    d) ggT(48, 36) \(=12\). Auch ohne Tulpen wären es 12 Sträuße, dann mit je 4 Rosen und 3 Nelken.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(60:7=8\) Rest 4. 7 ist kein Teiler von 60, deshalb bleiben bei 7 Gruppen 4 Kinder übrig.
    b) Gleich große Gruppen gibt es für jeden Teiler von 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Mindestens 2 Gruppen heißt: ohne die 1. Es bleiben 11 Einteilungen.
    c) Für jede Gruppe braucht man einen Betreuer, also höchstens 8 Gruppen: 2, 3, 4, 5 oder 6 Gruppen (mit 30, 20, 15, 12 oder 10 Kindern).
    d) Teiler von 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Gruppenanzahlen bis 10 (mindestens 2): 2, 4 und 8.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Rot leuchtet nach 8, 16, 24 … s, grün nach 12, 24 … s. kgV(8, 12) \(=24\) s.
    b) Gemeinsames Leuchten nach 24 s und 48 s; das nächste wäre nach 72 s, also schon außerhalb der Minute. In einer Minute: 2-mal.
    c) \(8=2^3\), \(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\). kgV \(=2^3\cdot3^2=72\) s. Alle drei leuchten nach 72 s, also nach 1 min 12 s, gemeinsam.
    d) Eine Stunde hat 3600 s: \(3600:72=50\). Alle drei leuchten in einer Stunde 50-mal gemeinsam.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(84=2^2\cdot3\cdot7\); \(126=2\cdot3^2\cdot7\); \(42=2\cdot3\cdot7\).
    b) Gemeinsame Primfaktoren mit der kleinsten Anzahl: \(2\cdot3\cdot7=42\). ggT \(=42\).
    c) Höchstens 42 Körbe. Jeder Korb enthält \(84:42=2\) Äpfel, \(126:42=3\) Birnen und \(42:42=1\) Orange.
    d) \(42\cdot9=378\) €.
    e) Mit 14 Bananen muss die Korbzahl auch 14 teilen. ggT(42, 14) \(=14\). Dann gibt es 14 Körbe mit je 6 Äpfeln, 9 Birnen, 3 Orangen und 1 Banane.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    Ein Fach wird von jedem Kind umgeschaltet, dessen Nummer ein Teiler der Fachnummer ist.
    a) Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Fach 12 wird 6-mal umgeschaltet und ist am Ende zu (gerade Anzahl).
    b) Teiler von 9: 1, 3, 9. Drei Umschaltungen: zu → offen → zu → offen. Fach 9 ist am Ende offen.
    c) Eine Primzahl hat genau 2 Teiler. Fach 13 wird von Kind 1 geöffnet und von Kind 13 wieder geschlossen; es ist am Ende zu.
    d) Offen sind die Fächer mit einer ungeraden Teileranzahl: 1, 4, 9 und 16. Das sind Quadratzahlen. Bei ihnen steht in einem Teilerpaar zweimal dieselbe Zahl (zum Beispiel \(4\cdot4=16\)), die nur einmal zählt.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Durch 5 und 9 teilbar heißt durch 45 teilbar. Zweistellige Vielfache von 45 sind 45 und 90. Quersumme von 45: \(4+5=9\); von 90: \(9+0=9\). Beide Zahlen erfüllen alle Bedingungen.
    b) Dreistellig, kleiner als 120, Endziffer 5: 105 oder 115. Quersumme \(1+0+5=6\) ist durch 3 teilbar, \(1+1+5=7\) nicht. Die Zahl ist 105.
    c) kgV(2, 3, 4, 5, 6): \(4=2^2\), \(6=2\cdot3\); kgV \(=2^2\cdot3\cdot5=60\). Probe: 60 ist durch alle fünf Zahlen teilbar.
    d) Zwischen 80 und 90: 81 (\(9\cdot9\)), 82, 84, 85, 86, 88 (gerade oder durch 5), 87 (\(3\cdot29\)) fallen weg. Übrig bleiben die Primzahlen 83 und 89.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Wir gehen die Primzahlen durch und suchen Paare mit Abstand 2: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61). Kein Paar ist zum Beispiel (23, 25), weil 25 = 5 · 5.
    b) 2 und 3 haben den Abstand \(3-2=1\), nicht 2. Sie sind deshalb keine Primzahlzwillinge.
    c) 5 und 7 sind Primzahlen, aber \(9=3\cdot3\) nicht. Von drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ist immer eine durch 3 teilbar; deshalb ist 3, 5, 7 der einzige Primzahldrilling dieser Art.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Teiler von 6 ohne die 6 selbst: 1, 2, 3. Summe \(1+2+3=6\). Die Zahl 6 ist vollkommen.
    b) Teiler von 28 ohne 28: 1, 2, 4, 7, 14. Summe \(1+2+4+7+14=28\). Auch 28 ist vollkommen.
    c) Teiler von 12 ohne 12: 1, 2, 3, 4, 6. Summe \(16\). Da \(16>12\), ist 12 nicht vollkommen; die Teilersumme ist größer als die Zahl. Solche Zahlen heißen abundant („überfüllt“).
    Vollkommene Zahlen sind sehr selten: Die nächste nach 28 ist 496.