Winkel messen und zeichnen – Mathe Klasse 5 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

← Zurück zu den Aufgaben

1. Lösung zu Aufgabe 1

   Wir ordnen jeden Winkel nach seiner Größe ein.
   a) \(35^\circ\) liegt zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\): spitzer Winkel.
   b) \(90^\circ\): rechter Winkel; er wird mit einem Viertelkreis und Punkt markiert.
   c) \(120^\circ\) liegt zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\): stumpfer Winkel.
   d) \(180^\circ\): gestreckter Winkel; beide Schenkel bilden eine Gerade.
   e) \(250^\circ\) liegt zwischen \(180^\circ\) und \(360^\circ\): überstumpfer Winkel.
   f) \(360^\circ\): Vollwinkel, eine ganze Umdrehung.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) \(\alpha\) ist kleiner als ein rechter Winkel, also spitz. Eine gute Schätzung ist „etwas weniger als die Hälfte eines rechten Winkels“, etwa \(40^\circ\). Die Messung ergibt \(40^\circ\).
   b) \(\beta\) ist größer als ein rechter Winkel, also stumpf, etwa ein rechter Winkel plus ein Drittel davon. Gemessen: \(120^\circ\).
   c) Mit dem Geodreieck misst man auf \(1^\circ\) genau. Unterschied: \(120^\circ-40^\circ=80^\circ\).
   d) Man legt den Nullpunkt auf den Scheitel und einen Schenkel auf die \(0^\circ\)-Linie. Dann liest man auf der Skala ab, die bei diesem Schenkel mit 0 beginnt. Kontrolle: Bei einem spitzen Winkel muss die Zahl kleiner als 90 sein.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß. Nebenwinkel liegen nebeneinander an einer Geraden und ergänzen sich zu \(180^\circ\).
   a) Scheitelwinkel von \(\alpha\): \(48^\circ\).
   b) Nebenwinkel: \(180^\circ-48^\circ=132^\circ\).
   c) Die vier Winkel sind \(48^\circ\), \(132^\circ\), \(48^\circ\), \(132^\circ\). Summe: \(360^\circ\), ein Vollwinkel um den Schnittpunkt.
   d) \(180^\circ-115^\circ=65^\circ\).

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Ergänzungswinkel bilden zusammen einen rechten Winkel, Nebenwinkel zusammen einen gestreckten Winkel.
   a) \(90^\circ-37^\circ=53^\circ\). Probe: \(37+53=90\).
   b) \(90^\circ-64^\circ=26^\circ\).
   c) \(180^\circ-123^\circ=57^\circ\).
   d) \(90^\circ-89^\circ=1^\circ\); \(90^\circ-0^\circ=90^\circ\).
   Antwort: \(53^\circ\), \(26^\circ\), \(57^\circ\), \(1^\circ\) und \(90^\circ\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Im Dreieck ergänzen sich alle drei Winkel zu \(180^\circ\), im Viereck alle vier zu \(360^\circ\).
   a) \(\gamma=180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ\).
   b) Ein Winkel ist \(90^\circ\): \(180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ\).
   c) \(360^\circ-85^\circ-110^\circ-95^\circ=360^\circ-290^\circ=70^\circ\).
   d) Für die zwei gleichen Basiswinkel bleiben \(180^\circ-40^\circ=140^\circ\), jeder ist \(70^\circ\).
   Kontrolle zu d): \(40+70+70=180\).

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Zwischen zwei Ziffern liegen \(360^\circ:12=30^\circ\); der Minutenzeiger dreht sich pro Minute um \(360^\circ:60=6^\circ\).
   a) 3:00 Uhr: 3 Ziffern Abstand, \(3\cdot30^\circ=90^\circ\). 6:00 Uhr: \(180^\circ\). 4:00 Uhr: \(120^\circ\).
   b) 15 Minuten: \(15\cdot6^\circ=90^\circ\). 40 Minuten: \(240^\circ\).
   c) 2 Stunden: \(60^\circ\). 45 Minuten sind \(\frac34\) Stunde: \(\frac34\cdot30^\circ=22{,}5^\circ\).
   d) Um 2:30 Uhr steht der Minutenzeiger auf der 6 (\(180^\circ\)). Der Stundenzeiger steht nicht genau auf der 2, sondern auf halbem Weg zur 3: \(60^\circ+15^\circ=75^\circ\). Winkel: \(180^\circ-75^\circ=105^\circ\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Der ganze Kreis (\(360^\circ\)) steht für 24 Kinder. Ein Kind: \(360^\circ:24=15^\circ\).
   b) Sport \(9\cdot15^\circ=135^\circ\); Mathe \(6\cdot15^\circ=90^\circ\); Kunst \(5\cdot15^\circ=75^\circ\); Deutsch \(4\cdot15^\circ=60^\circ\).
   c) \(135+90+75+60=360\). Die Winkel füllen genau den ganzen Kreis.
   d) Kreis mit Radius 4 cm zeichnen, einen Radius als Startlinie ziehen und mit dem Geodreieck nacheinander \(135^\circ\), \(90^\circ\), \(75^\circ\) abtragen; der Rest ergibt automatisch \(60^\circ\). Ausschnitte beschriften.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Zeichne einen Schenkel \(\overline{SA}\) von 5 cm. Lege das Geodreieck mit dem Nullpunkt auf \(S\) und der Grundlinie auf den Schenkel. Markiere bei \(70^\circ\) einen Punkt, verbinde ihn mit \(S\) und verlängere auf 5 cm.
   b) Genauso, aber bei \(135^\circ\) markieren. Da der Winkel stumpf ist, liest man auf der Skala, die bei dem gezeichneten Schenkel mit 0 beginnt, über die 90 hinaus.
   c) \(215^\circ\) kann man nicht direkt abtragen. Man zeichnet \(360^\circ-215^\circ=145^\circ\) und markiert den Winkelbogen auf der anderen, äußeren Seite. Dieser Außenwinkel ist \(215^\circ\).
   d) Man misst die fertigen Winkel noch einmal nach. Bei c) kann man den inneren Winkel messen und prüfen, ob \(145^\circ+215^\circ=360^\circ\) ergibt.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(55^\circ+62^\circ+70^\circ=187^\circ\). Im Dreieck müssten es \(180^\circ\) sein; die Messung ist um \(7^\circ\) zu groß, mindestens ein Winkel wurde falsch gemessen.
   b) \(40^\circ+60^\circ+80^\circ=180^\circ\). Diese Messwerte können stimmen.
   c) \(90^\circ+90^\circ+90^\circ+100^\circ=370^\circ\). Im Viereck müssten es \(360^\circ\) sein; Abweichung \(10^\circ\).
   d) Abweichungen: a) \(7^\circ\), b) \(0^\circ\), c) \(10^\circ\). Kleine Abweichungen von 1 bis 2 Grad entstehen durch ungenaues Zeichnen, größere deuten auf einen Ablesefehler hin.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Südost liegt genau in der Mitte zwischen Ost (\(90^\circ\)) und Süd (\(180^\circ\)): \(135^\circ\). Von Nord aus dreht man sich also um \(135^\circ\).
    b) Von West (\(270^\circ\)) im Uhrzeigersinn nach Nord (\(360^\circ\)): \(360^\circ-270^\circ=90^\circ\).
    c) Drei Viertel einer Umdrehung: \(\frac34\cdot360^\circ=270^\circ\).
    d) Der Wanderer startet bei Ost (\(90^\circ\)) und dreht sich um \(135^\circ\) nach rechts: \(90^\circ+135^\circ=225^\circ\). Das liegt genau zwischen Süd (\(180^\circ\)) und West (\(270^\circ\)): Er blickt nach Südwesten.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich: \((180^\circ-100^\circ):2=40^\circ\).
    b) Mit \(80^\circ\) an der Spitze: \((180^\circ-80^\circ):2=50^\circ\).
    c) Das zweite Dach ist steiler. Seine Dachflächen steigen mit \(50^\circ\) statt \(40^\circ\) gegen den Boden an; je spitzer der Winkel am First, desto steiler das Dach.
    d) In jedem Dreieck ist die Winkelsumme \(180^\circ\): \(100+40+40=180\) und \(80+50+50=180\).

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Das Dreieck hat einen rechten Winkel und den Bodenwinkel \(25^\circ\). Dritter Winkel: \(180^\circ-90^\circ-25^\circ=65^\circ\).
    b) \(180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ\). Wird die Rampe steiler, wird der Winkel an der Spitze kleiner.
    c) Bodenwinkel und Spitzenwinkel ergeben zusammen immer \(90^\circ\). Wenn der Spitzenwinkel höchstens \(60^\circ\) sein darf, muss der Bodenwinkel mindestens \(90^\circ-60^\circ=30^\circ\) groß sein.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Erste Drehung von \(40^\circ\) auf \(130^\circ\): \(130^\circ-40^\circ=90^\circ\), ein rechter Winkel.
    b) Zweite Drehung von \(130^\circ\) auf \(250^\circ\): \(120^\circ\).
    c) Gesamte Drehung: \(90^\circ+120^\circ=210^\circ\); Kontrolle \(250^\circ-40^\circ=210^\circ\).
    d) \(210^\circ\) liegt zwischen \(180^\circ\) und \(360^\circ\): Die Gesamtdrehung ist ein überstumpfer Winkel.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(180^\circ-55^\circ-75^\circ=50^\circ\).
    b) Alle drei Winkel (\(55^\circ\), \(75^\circ\), \(50^\circ\)) sind kleiner als \(90^\circ\): spitzwinkliges Dreieck.
    c) \(180^\circ-30^\circ-130^\circ=20^\circ\). Ein Winkel ist größer als \(90^\circ\): stumpfwinkliges Dreieck.
    d) Nein. Zwei rechte Winkel ergeben schon \(180^\circ\), für den dritten Winkel bliebe \(0^\circ\). Die beiden Seiten an den rechten Winkeln wären parallel und würden sich nie treffen.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) 3:30 Uhr: Der Stundenzeiger steht bei \(3\cdot30^\circ=90^\circ\) plus \(30\cdot0{,}5^\circ=15^\circ\), also \(105^\circ\). Der Minutenzeiger: \(30\cdot6^\circ=180^\circ\).
    b) 9:15 Uhr: Stundenzeiger \(9\cdot30^\circ+15\cdot0{,}5^\circ=270^\circ+7{,}5^\circ=277{,}5^\circ\). Minutenzeiger \(15\cdot6^\circ=90^\circ\).
    c) 3:30 Uhr: \(180^\circ-105^\circ=75^\circ\). 9:15 Uhr: \(277{,}5^\circ-90^\circ=187{,}5^\circ\); der kleinere Winkel ist \(360^\circ-187{,}5^\circ=172{,}5^\circ\).
    d) Gesucht ist eine volle Stunde mit \(h\cdot30^\circ=150^\circ\), also \(h=5\). Um 5:00 Uhr bilden die Zeiger \(150^\circ\).

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) 30 Kinder teilen sich \(360^\circ\): \(360^\circ:30=12^\circ\) pro Kind.
    b) Fußball \(10\cdot12^\circ=120^\circ\); Tanzen \(72^\circ\); Schwimmen \(96^\circ\); Sonstiges \(72^\circ\).
    c) \(120+72+96+72=360\).
    d) Fußball \(\frac{10}{30}=\frac13\). Ein Drittel des Vollkreises: \(360^\circ:3=120^\circ\). Das passt zu b).
    e) Kreis zeichnen, Startradius ziehen, die Winkel \(120^\circ\), \(72^\circ\), \(96^\circ\) nacheinander abtragen, der Rest ist \(72^\circ\). Jeden Ausschnitt mit Sportart und Anzahl beschriften.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    Bei einer vollen Runde dreht sich der Roboter insgesamt einmal ganz herum, also um \(360^\circ\). Bei regelmäßigen Figuren ist der Drehwinkel an jeder Ecke gleich.
    a) Quadrat, 4 Ecken: \(360^\circ:4=90^\circ\).
    b) Gleichseitiges Dreieck, 3 Ecken: \(360^\circ:3=120^\circ\).
    c) Regelmäßiges Sechseck, 6 Ecken: \(360^\circ:6=60^\circ\).
    d) \(360^\circ:72^\circ=5\). Die Figur hat 5 Ecken, es ist ein regelmäßiges Fünfeck.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Gegenüberliegende Winkel (Scheitelwinkel) sind gleich, benachbarte (Nebenwinkel) ergänzen sich zu \(180^\circ\). Winkel: \(70^\circ\), \(110^\circ\), \(70^\circ\), \(110^\circ\).
    b) Drei gleiche Winkel um einen Punkt: \(360^\circ:3=120^\circ\).
    c) \(50+130+50+130=360\). Die Summe ergibt einen Vollwinkel, die Angaben passen.
    d) \(360^\circ-100^\circ-110^\circ-90^\circ=60^\circ\).
    Merke: Alle Winkel um einen Punkt ergeben zusammen immer \(360^\circ\).

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Jedes Dreieck hat die Winkelsumme \(180^\circ\): \(3\cdot180^\circ=540^\circ\).
    b) Die drei Dreiecke füllen das Fünfeck lückenlos aus, und ihre Winkel setzen sich genau zu den Winkeln des Fünfecks zusammen. Die Winkelsumme im Fünfeck ist also \(540^\circ\).
    c) Im regelmäßigen Fünfeck sind alle 5 Winkel gleich: \(540^\circ:5=108^\circ\).
    d) Ein Sechseck wird von einer Ecke aus in 4 Dreiecke zerlegt: \(4\cdot180^\circ=720^\circ\).

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Um 3:15 Uhr: Stundenzeiger \(3\cdot30^\circ+15\cdot0{,}5^\circ=90^\circ+7{,}5^\circ=97{,}5^\circ\). Minutenzeiger \(15\cdot6^\circ=90^\circ\).
    b) Winkel: \(97{,}5^\circ-90^\circ=7{,}5^\circ\).
    c) Der Minutenzeiger steht genau auf der 3. Der Stundenzeiger stand um 3:00 Uhr auf der 3, ist aber in 15 Minuten mitgewandert, und zwar um ein Viertel des Weges zur 4 (\(7{,}5^\circ\)). Er steht deshalb ein kleines Stück weiter als der Minutenzeiger.