Distribuciones binomial y normal – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(0{,}2+0{,}3+0{,}4+0{,}1=1\) y todas las probabilidades están entre 0 y 1. Es una distribución de probabilidad.
   2. Multiplicamos cada valor por su probabilidad y sumamos: \(\mu=1\cdot0{,}2+2\cdot0{,}3+3\cdot0{,}4+4\cdot0{,}1=0{,}2+0{,}6+1{,}2+0{,}4=2{,}4\) pedidos por hora. El valor 2,4 no tiene por qué ser un valor posible de \(X\): es el promedio de pedidos a largo plazo.
   3. \(\sum x_i^2p_i=0{,}2+1{,}2+3{,}6+1{,}6=6{,}6\). Varianza: \(\sigma^2=6{,}6-2{,}4^2=6{,}6-5{,}76=0{,}84\). Desviación típica: \(\sigma=\sqrt{0{,}84}=0{,}917\) pedidos.
   4. Sumamos los valores 3 y 4: \(P(X\ge3)=0{,}4+0{,}1=0{,}5\). La mitad de las horas llegan 3 o más pedidos. Es lo mismo que \(1-P(X\le2)=1-0{,}5=0{,}5\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Cada paquete está dañado o no, con probabilidad constante 0,08 e independencia, en 10 pruebas: \(X\sim B(10;0{,}08)\). Los parámetros son \(n=10\) pruebas y \(p=0{,}08\) de «éxito» (paquete dañado).
   2. Ninguno dañado: los 10 llegan bien, \(P(X=0)=0{,}92^{10}=0{,}4344\). Se obtiene con \(\binom{10}{0}\,0{,}08^0\,0{,}92^{10}\), donde los dos primeros factores valen 1.
   3. Fórmula binomial: \(P(X=2)=\binom{10}{2}\,0{,}08^2\,0{,}92^8=45\cdot0{,}0064\cdot0{,}513219=0{,}1478\). Hay \(\binom{10}{2}=45\) maneras de elegir qué dos paquetes están dañados.
   4. Por el suceso contrario, \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}4344=0{,}5656\). La media es \(\mu=np=10\cdot0{,}08=0{,}8\) paquetes dañados por cada 10. Interpretación: en más de la mitad de los lotes de 10 aparece algún paquete dañado, aunque por término medio solo hay 0,8.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Tipificamos: \(z=\dfrac{150-180}{20}=-1{,}5\). \(P(X\lt 150)=\Phi(-1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668\). Por la simetría de la normal, \(\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)\); alrededor del 6,7 % de las naranjas pesa menos de 150 g.
   2. \(z_1=\dfrac{170-180}{20}=-0{,}5\) y \(z_2=\dfrac{210-180}{20}=1{,}5\). Restamos áreas: \(P=\Phi(1{,}5)-\Phi(-0{,}5)=0{,}9332-0{,}3085=0{,}6247\). Además \(\Phi(-0{,}5)=1-\Phi(0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085\). Aproximadamente el 62,5 % de las naranjas está en ese intervalo.
   3. \(z=\dfrac{220-180}{20}=2\). \(P(X\gt 220)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228\), es decir, el 2,28 %. Pesar 220 g supone estar dos desviaciones típicas por encima de la media.
   4. Número esperado \(=n\cdot p\): \(80\cdot0{,}0228=1{,}82\). En una caja de 80 habrá, por término medio, unas 2 naranjas de más de 220 g. No se redondea la probabilidad antes de multiplicar; el resultado final se interpreta como un número entero aproximado.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Destipificamos con \(x=\mu+z\sigma\) y \(z=-0{,}67\): \(x=120-0{,}67\cdot30=120-20{,}1=99{,}9\) €. El 25 % que menos gasta no supera unos 100 € al mes. El valor buscado deja a su izquierda un área de 0,25, por eso \(z\) es negativo.
   2. Con \(z=1{,}28\): \(x=120+1{,}28\cdot30=120+38{,}4=158{,}4\) €. El 10 % que más gasta supera los 158,4 €. Aquí el área a la izquierda del valor es 0,90.
   3. El 95 % central deja un 2,5 % en cada cola, por eso \(z=\pm1{,}96\): \(120\pm1{,}96\cdot30=120\pm58{,}8\). El intervalo es \((61{,}2;\,178{,}8)\) euros. Comprobación en la tabla: \(\Phi(1{,}96)=0{,}975\).

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(X\sim B(150;0{,}6)\). Como \(np=90\ge5\) y \(nq=60\ge5\), se aproxima por una normal de media 90 y desviación \(\sqrt{150\cdot0{,}6\cdot0{,}4}=\sqrt{36}=6\): \(X\approx N(90;\,6)\). La media es \(np=150\cdot0{,}6=90\).
   2. Con la corrección de continuidad, \(P(X\ge100)\approx P(X'\gt 99{,}5)\), con \(z=\dfrac{99{,}5-90}{6}=1{,}58\). \(P=1-\Phi(1{,}58)=1-0{,}9429=0{,}0571\). Se toma 99,5 porque el entero 100 ocupa el intervalo \([99{,}5;\,100{,}5]\) en la normal.
   3. \(P(X\lt 85)=P(X\le84)\approx P(X'\lt 84{,}5)\), con \(z=\dfrac{84{,}5-90}{6}=-0{,}92\). \(P=\Phi(-0{,}92)=0{,}1788\). Es poco probable: ocurre en alrededor del 18 % de las muestras.
   4. \(P(X\gt 75)\approx P(X'\gt 75{,}5)\), con \(z=\dfrac{75{,}5-90}{6}=-2{,}42\). \(P=1-\Phi(-2{,}42)=0{,}9922\). El proyecto se aprobaría casi con seguridad. Para que no se aprobara harían falta 75 vecinos a favor o menos, algo que casi nunca sucede.

Total : 20 puntos