Terme, Gleichungen und Textaufgaben – Mathe Klasse 5 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Wir übersetzen die Rechenwörter: Summe heißt plus, Differenz heißt minus, das Dreifache heißt mal 3, vermindert um heißt minus.
   a) Summe aus \(x\) und 12: \(x+12\).
   b) Erst das Dreifache, dann 7 weniger: \(3\cdot x-7\).
   c) Zuerst wird die Summe gebildet, dann verdoppelt. Deshalb braucht man eine Klammer: \(2\cdot(x+5)\). Ohne Klammer würde nur das \(x\) verdoppelt.
   d) Von 100 wird das Vierfache von \(x\) abgezogen: \(100-4\cdot x\).
   Antwort: \(x+12\); \(3x-7\); \(2(x+5)\); \(100-4x\).

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Wir ersetzen \(x\) durch die Zahl und rechnen mit Punkt vor Strich.
   a) \(x=0\): \(3\cdot0+5=5\). \(x=4\): \(12+5=17\). \(x=10\): \(30+5=35\).
   b) \(x=1\): \(2\cdot(1+6)=2\cdot7=14\). \(x=5\): \(2\cdot11=22\).
   c) \(x=3\): \(100-21=79\). \(x=10\): \(100-70=30\).
   d) \(x=4\): \(4\cdot4+1=16+1=17\).
   Beobachtung bei a): Wird \(x\) um 1 größer, wächst der Termwert immer um 3.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Jede Rechenart wird durch ihre Umkehroperation rückgängig gemacht: plus durch minus, mal durch geteilt.
   a) \(x+7=15\); wir rechnen \(15-7\): \(x=8\). Probe: \(8+7=15\).
   b) \(x-9=14\); wir rechnen \(14+9\): \(x=23\). Probe: \(23-9=14\).
   c) \(4\cdot x=36\); wir rechnen \(36:4\): \(x=9\). Probe: \(4\cdot9=36\).
   d) \(x:5=8\); wir rechnen \(8\cdot5\): \(x=40\). Probe: \(40:5=8\).
   Alle Proben stimmen.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Rückwärts rechnen: Zuerst wird der zuletzt ausgeführte Rechenschritt rückgängig gemacht.
   a) \(3x+4=19\). Minus 4: \(3x=15\). Geteilt durch 3: \(x=5\). Probe: \(15+4=19\).
   b) \(5x-7=28\). Plus 7: \(5x=35\). Geteilt durch 5: \(x=7\). Probe: \(35-7=28\).
   c) \(2(x+3)=18\). Geteilt durch 2: \(x+3=9\). Minus 3: \(x=6\). Probe: \(2\cdot9=18\).
   d) \(60-4x=24\). Von 60 wird so viel abgezogen, dass 24 bleibt: \(4x=60-24=36\), also \(x=9\). Probe: \(60-36=24\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Wir setzen die Zahl ein und vergleichen die linke mit der rechten Seite.
   a) Links \(4\cdot6-5=24-5=19\), rechts 19. Beide Seiten sind gleich: \(x=6\) ist eine Lösung.
   b) Links \(3\cdot4+8=12+8=20\), rechts 21. Die Seiten sind verschieden: \(x=4\) ist keine Lösung. Die echte Lösung wäre \(3x=13\), also keine natürliche Zahl.
   c) Links \(50:10+2=5+2=7\), rechts 7. Wahr: \(x=10\) ist eine Lösung.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Wir übersetzen den Text Schritt für Schritt in eine Gleichung und lösen rückwärts.
   a) \(2x+9=31\). Minus 9: \(2x=22\). Geteilt durch 2: \(x=11\). Probe: \(22+9=31\).
   b) \(x:3+4=10\). Minus 4: \(x:3=6\). Mal 3: \(x=18\). Probe: \(6+4=10\).
   c) \(5x-12=33\). Plus 12: \(5x=45\). Geteilt durch 5: \(x=9\). Probe: \(45-12=33\).
   d) \(x+2x=45\), zusammengefasst \(3x=45\), also \(x=15\). Probe: \(15+30=45\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   Der Umfang ist die Summe aller Seitenlängen.
   a) Quadrat: vier gleich lange Seiten, \(U=4\cdot a\).
   b) Rechteck: je zwei Seiten \(a\) und \(b\), \(U=2\cdot a+2\cdot b\) oder \(2\cdot(a+b)\).
   c) Die Länge ist \(b+3\). Also \(U=2\cdot(b+3)+2\cdot b=2b+6+2b=4b+6\).
   d) Mit \(b=5\) cm: \(U=4\cdot5+6=26\) cm. Kontrolle: Länge 8 cm, Breite 5 cm, \(2\cdot8+2\cdot5=26\).

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Jede Kugel kostet 1,20 €, also für \(k\) Kugeln: \(1{,}20\cdot k\).
   b) \(k=3\): \(3{,}60\) €. \(k=5\): \(6{,}00\) €. \(k=8\): \(9{,}60\) €.
   c) Gleichung \(1{,}2\cdot k=9{,}60\). Geteilt durch 1,2: \(k=8\). Für 9,60 € bekommt man 8 Kugeln.
   d) Mit Waffel: \(1{,}2\cdot k+0{,}5\). Für \(k=2\): \(2{,}40+0{,}50=2{,}90\) €.
   Die Waffel wird nur einmal bezahlt, deshalb steht 0,50 nicht mit \(k\) zusammen.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) Karten: \(6\cdot x\) Euro.
   b) Popcorn: \(3{,}5\cdot x\). Gesamt: \(6x+3{,}5x\). Gleichartige Glieder fasst man zusammen: \(9{,}5x\).
   c) Für 4 Kinder: \(9{,}5\cdot4=38\) €.
   d) \(9{,}5x=76\). Geteilt durch 9,5: \(x=8\). Probe: \(8\cdot9{,}50=76\).
   Antwort: Pro Kind fallen 9,50 € an; mit 76 € können 8 Kinder mitkommen.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Startbetrag 20 € plus 5 € pro Woche: \(20+5w\).
    b) \(w=6\): \(20+30=50\) €.
    c) \(20+5w=65\). Minus 20: \(5w=45\). Geteilt durch 5: \(w=9\). Nach 9 Wochen kann Mia das Licht kaufen.
    d) Mia nach 10 Wochen: \(20+5\cdot10=70\) €. Bruder: \(35+3\cdot10=65\) €. Mia hat 5 € mehr. Obwohl der Bruder mit mehr Geld startet, holt Mia ihn ein, weil sie wöchentlich mehr spart.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Grundgebühr plus Minutenpreis mal Minuten: \(5+0{,}10\cdot m\).
    b) \(m=40\): \(5+0{,}10\cdot40=5+4=9\) €.
    c) \(5+0{,}1m=14\). Minus 5: \(0{,}1m=9\). Geteilt durch 0,1 (also mal 10): \(m=90\) Minuten.
    d) Bei \(m=0\) bleibt nur die Grundgebühr: 5 €.
    Probe zu c): \(5+0{,}1\cdot90=5+9=14\). Stimmt.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Von Quadrat zu Quadrat kommen immer 3 Hölzer dazu: 4 Quadrate 13 Hölzer, 5 Quadrate 16 Hölzer.
    b) Term \(3n+1\): Man legt zuerst ein einzelnes Holz als linke Kante. Jedes Quadrat braucht dann noch 3 weitere Hölzer (oben, unten, rechts). Kontrolle: \(n=1\) ergibt 4, \(n=3\) ergibt 10.
    c) \(n=12\): \(3\cdot12+1=37\) Hölzer.
    d) \(3n+1=100\). Minus 1: \(3n=99\). Geteilt durch 3: \(n=33\). Mit 100 Hölzern legt man genau 33 Quadrate.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Pro Kind \(2{,}40+1{,}10=3{,}50\) €, dazu einmal die Torte: \(2{,}4x+1{,}1x+12=3{,}5x+12\).
    b) \(x=8\): \(3{,}5\cdot8+12=28+12=40\) €.
    c) \(3{,}5x+12=54\). Minus 12: \(3{,}5x=42\). Geteilt durch 3,5: \(x=12\). Es können 12 Kinder kommen.
    d) Bei 12 Kindern betragen die Kosten genau 54 €, pro Kind \(54:12=4{,}50\) €.
    Der Anteil der Torte pro Kind ist \(12:12=1\) €, dazu kommen 3,50 € für Pizza und Getränk.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Tarif A \(=4+0{,}15\cdot m\): 20 min 7 €, 40 min 10 €, 60 min 13 €, 80 min 16 €. Tarif B \(=0{,}25\cdot m\): 5 €, 10 €, 15 €, 20 €.
    b) \(K_A=4+0{,}15m\); \(K_B=0{,}25m\).
    c) Gleich teuer, wenn \(4+0{,}15m=0{,}25m\). Minus \(0{,}15m\): \(4=0{,}1m\), also \(m=40\). In der Tabelle kosten beide bei 40 min 10 €.
    d) Tarif B lohnt sich für Wenigtelefonierer unter 40 Minuten, weil keine Grundgebühr anfällt.
    e) Bei 30 min: B kostet 7,50 €, A kostet \(4+4{,}50=8{,}50\) €. Empfehlung B, Ersparnis 1 €.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Bus einmal, Unterkunft pro Kind: \(K=360+28x\).
    b) \(x=24\): \(360+28\cdot24=360+672=1032\) €.
    c) \(360+28x=1088\). Minus 360: \(28x=728\). Geteilt durch 28: \(x=26\). Es fahren 26 Kinder mit.
    d) Pro Kind: \(1088:26\approx41{,}85\) €.
    e) Bei 24 Kindern sinken die Gesamtkosten auf 1032 €, also um 56 €. Pro Kind steigt der Preis aber auf \(1032:24=43{,}00\) €, weil die Buskosten auf weniger Kinder verteilt werden.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Ein Rad: Grundgebühr plus 3 € pro Stunde, \(6+3t\).
    b) Drei Räder: \(3\cdot(6+3t)=18+9t\) (Verteilungsgesetz).
    c) \(t=4\): \(18+9\cdot4=18+36=54\) €.
    d) \(18+9t=72\). Minus 18: \(9t=54\). Geteilt durch 9: \(t=6\). Die Familie darf höchstens 6 Stunden fahren.
    Probe: \(3\cdot(6+18)=3\cdot24=72\).

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Emre ist \(x\) Jahre alt. Das Dreifache ist \(3x\), fünf Jahre mehr ergibt das Alter des Vaters: \(3x+5\).
    b) Zusammen 53 Jahre: \(x+(3x+5)=53\), zusammengefasst \(4x+5=53\).
    c) Minus 5: \(4x=48\). Geteilt durch 4: \(x=12\). Emre ist 12 Jahre alt, der Vater \(3\cdot12+5=41\) Jahre.
    d) Probe am Text: Das Dreifache von 12 ist 36, fünf mehr sind 41, das passt zum Vater. Zusammen \(12+41=53\). Beide Bedingungen sind erfüllt.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(36:5=7\) Rest 1. Sieben Rollen reichen nur für \(35\,\mathrm{m}^2\); für den letzten Quadratmeter braucht man eine achte Rolle. Also 8 Rollen.
    b) \(8\cdot8{,}50=68{,}00\) €.
    c) Mit Kleister: \(68{,}00+4{,}50=72{,}50\) €.
    d) Wechselgeld: \(100{,}00-72{,}50=27{,}50\) €.
    Antwort: Laras Vater kauft 8 Rollen und Kleister für 72,50 € und erhält 27,50 € zurück.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Zwei Erwachsene kosten \(2\cdot6=12\) €, jedes Kind 4 €: \(12+4x\).
    b) \(x=3\): \(12+12=24\) €.
    c) Der Familientag lohnt sich, wenn der normale Preis über 25 € liegt: \(12+4x>25\), also \(4x>13\). Bei \(x=3\) sind es 24 € (weniger als 25 €), bei \(x=4\) schon 28 €. Ab 4 Kindern lohnt sich der Familientag.
    d) Mit 5 Kindern: normal \(12+20=32\) €, am Familientag 25 €. Ersparnis 7 €.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Mit 7: \(7+5=12\), \(12\cdot2=24\), \(24-10=14\), \(14:2=7\). Mit 20: \(25\), \(50\), \(40\), \(20\). Beide Male kommt die gedachte Zahl heraus.
    b) Term: \(((x+5)\cdot2-10):2\).
    c) Ausmultiplizieren: \((x+5)\cdot2=2x+10\). Minus 10 ergibt \(2x\). Geteilt durch 2 ergibt \(x\). Das „+5“ wird durch das „−10“ nach dem Verdoppeln genau aufgehoben, und das „·2“ durch das „:2“. Deshalb kommt bei jeder Zahl wieder die Ausgangszahl heraus.

21. Lösung zu Aufgabe 21

    a) Links liegen drei Kugeln zu je \(x\) Gramm und 20 g, rechts 80 g. Im Gleichgewicht gilt \(3x+20=80\).
    b) Auf beiden Seiten 20 g wegnehmen: \(3x=60\). Durch 3 teilen: \(x=20\). Eine Kugel wiegt 20 g. Probe: \(60+20=80\).
    c) Rechts liegen jetzt 120 g. Links werden 100 g Kugeln gebraucht, denn \(20+100=120\). Das sind \(100:20=5\) Kugeln. Es liegen schon 3 Kugeln da, also müssen 2 Kugeln dazukommen.